1. Найти наибольшее и наименьшее значения функций у = f(x) на заданном x y =, [2,4]. отрезке.

Рассмотрим функцию y = \(\frac{x}{x-1}\) на отрезке [2; 4].

1. Найдем производную функции:

\[y' = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}\]

2. Приравняем производную к нулю:

\[\frac{-1}{(x-1)^2} = 0\]

Производная не обращается в нуль, значит, критических точек нет.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При x = 2:

\[y(2) = \frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2\]

При x = 4:

\[y(4) = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\]

4. Сравним полученные значения:

Наибольшее значение: y = 2 при x = 2

Наименьшее значение: y = \(1\frac{1}{3}\) при x = 4

Ответ: Наибольшее значение: 2, наименьшее значение: \(1\frac{1}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Нашли производную, убедились, что нет нулей, вычислили значения на концах отрезка и выбрали максимум и минимум.

Доп. профит: Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает. Это помогает сразу понять, где максимум и минимум.