Найти наибольшее значение функции f = x²y² при условии х+2y=4.

Решение:

Нужно найти наибольшее значение функции \( f = x^2y^2 \) при условии \( x + 2y = 4 \).

1. Выразим \( x \) через \( y \) из условия: \( x = 4 - 2y \).
2. Подставим \( x \) в функцию \( f \):
   \( f(y) = (4 - 2y)^2 y^2 = (16 - 16y + 4y^2)y^2 = 4y^4 - 16y^3 + 16y^2 \)
3. Найдем производную функции \( f(y) \) по \( y \):
   \( f'(y) = 16y^3 - 48y^2 + 32y \)
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 16y^3 - 48y^2 + 32y = 0 \)
   \( 16y(y^2 - 3y + 2) = 0 \)
   \( 16y(y - 1)(y - 2) = 0 \)
5. Критические точки: \( y_1 = 0 \), \( y_2 = 1 \), \( y_3 = 2 \).
6. Найдем значения \( x \) для каждой критической точки:
   Если \( y = 0 \), то \( x = 4 - 2(0) = 4 \).
7. Если \( y = 1 \), то \( x = 4 - 2(1) = 2 \).
8. Если \( y = 2 \), то \( x = 4 - 2(2) = 0 \).
9. Вычислим значение функции \( f = x^2y^2 \) в этих точках:
   При \( (x, y) = (4, 0) \): \( f = 4^2 · 0^2 = 0 \).
10. При \( (x, y) = (2, 1) \): \( f = 2^2 · 1^2 = 4 · 1 = 4 \).
11. При \( (x, y) = (0, 2) \): \( f = 0^2 · 2^2 = 0 \).
12. Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: 4.