Найти наибольшее значение функции y = (x − 2)^2(x − 4) + 3 на отрезке [1; 4].

Рассмотрим функцию \(y=(x-2)^2(x-4)+3\) на отрезке \([1;4]\).

Раскроем скобки: \[y=x^3-8x^2+20x-13.\] Тогда \[y'=3x^2-16x+20=(3x-5)(x-4).\]

Критические точки: \(x=\frac53\) и \(x=4\). В отрезке \([1;4]\) учитываем \(x=\frac53\), а также концы отрезка.

\[y(1)=(1-2)^2(1-4)+3=0;\] \[y\left(\frac53\right)=\left(-\frac13\right)^2\left(-\frac73\right)+3=\frac{20}{9};\] \[y(4)=(4-2)^2(4-4)+3=3.\]

Наибольшее из полученных значений равно \(3\).

Ответ: 3.