Найти наименьшее и наибольшее значения функции s=f(t), если: f(t) = cos² t⋅tg² t + 5 cos² t - 1

Решение:

Дана функция \( f(t) = \cos^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t - 1 \). Преобразуем её, используя основное тригонометрическое тождество \( \operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \).

1. Заменим \( \operatorname{tg}^2 t \):
   \( f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5 \cos^2 t - 1 \)
2. Сократим \( \cos^2 t \) (при условии, что \( \cos t \neq 0 \), то есть \( t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)):
   \( f(t) = \sin^2 t + 5 \cos^2 t - 1 \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), откуда \( \sin^2 t = 1 - \cos^2 t \):
   \( f(t) = (1 - \cos^2 t) + 5 \cos^2 t - 1 \)
4. Упростим выражение:
   \( f(t) = 1 - \cos^2 t + 5 \cos^2 t - 1 \)
   \( f(t) = 4 \cos^2 t \)
5. Функция \( f(t) = 4 \cos^2 t \) является периодической. Наименьшее и наибольшее значения \( \cos^2 t \) равны 0 и 1 соответственно.
6. Минимальное значение \( f(t) \):
   \( \cos^2 t = 0 \) при \( t = \frac{\pi}{2} + \pi n \). Однако, в этих точках \( \operatorname{tg} t \) не определен. Следовательно, нужно искать минимум на интервалах, где функция определена. Наименьшее значение \( \cos^2 t \) приближается к 0, но не достигает его. Значит, нам нужно рассмотреть пределы.
7. Рассмотрим пределы функции, когда \( \cos^2 t \) стремится к 0 (то есть \( \cos t \to 0 \) и \( \sin^2 t \) стремится к 1):
   \( \lim_{t \to \frac{\pi}{2} + \pi n} f(t) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} + \pi n} (4 \cos^2 t) = 4 \cdot 0 = 0 \)
8. Максимальное значение \( f(t) \):
   \( \cos^2 t = 1 \) при \( t = \pi n \). В этих точках \( \operatorname{tg} t = 0 \), и функция определена.
   \( f(t) = 4 \cdot 1 = 4 \)

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0 (предельное), наибольшее значение равно 4.