5. Найти неопределённый интеграл: a) ∫(3x⁵+x+4)dx б) ∫(16-x²)/(4-x) dx 6. Найти неопределённый интеграл способом подстановки: ∫cos(3x + 2)dx 7. Вычислить определённый интеграл: ∫₂⁶ dx/(3x) 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: f(x)=x²+5x+6, x=2, x=-1, y=0. 9. Решить уравнение: a) 3²ˣ-3ˣ-72=0; б) log₁/₂(3x-5)= -1 10. Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник со стороной 6 см.

5. Найти неопределённый интеграл:

а) ∫(3x⁵+x+4)dx

1. ∫(3x⁵+x+4)dx = 3∫x⁵dx + ∫xdx + 4∫dx
2. = 3*(x⁶/6) + x²/2 + 4x + C = x⁶/2 + x²/2 + 4x + C

Ответ: x⁶/2 + x²/2 + 4x + C

б) ∫(16-x²)/(4-x) dx

1. (16-x²)/(4-x) = (4-x)(4+x)/(4-x) = 4+x (при x≠4)
2. ∫(4+x)dx = 4∫dx + ∫xdx = 4x + x²/2 + C

Ответ: 4x + x²/2 + C

6. Найти неопределённый интеграл способом подстановки:

∫cos(3x + 2)dx

1. Пусть u = 3x + 2, тогда du = 3dx, dx = du/3
2. ∫cos(u) (du/3) = (1/3)∫cos(u) du = (1/3)sin(u) + C = (1/3)sin(3x + 2) + C

Ответ: (1/3)sin(3x + 2) + C

7. Вычислить определённый интеграл: ∫₂⁶ dx/(3x)

1. ∫₂⁶ dx/(3x) = (1/3)∫₂⁶ (1/x) dx = (1/3) [ln|x|]₂⁶
2. = (1/3) (ln(6) - ln(2)) = (1/3) ln(6/2) = (1/3) ln(3)

Ответ: (1/3) ln(3)

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

f(x)=x²+5x+6, x=2, x=-1, y=0.

1. Площадь = |∫₋₁² (x²+5x+6) dx|
2. ∫(x²+5x+6) dx = x³/3 + 5x²/2 + 6x
3. [x³/3 + 5x²/2 + 6x]₋₁² = (8/3 + 10 + 12) - (-1/3 + 5/2 - 6) = 8/3 + 22 + 1/3 - 5/2 + 6 = 3 + 28 - 5/2 = 31 - 5/2 = 62/2 - 5/2 = 57/2

Ответ: 57/2

9. Решить уравнение:

а) 3²ˣ-3ˣ-72=0;

1. Пусть y = 3ˣ, тогда y² - y - 72 = 0
2. D = 1 + 4*72 = 289, √D = 17
3. y₁ = (1 + 17)/2 = 9, y₂ = (1 - 17)/2 = -8 (не подходит, т.к. 3ˣ > 0)
4. 3ˣ = 9, x = 2

Ответ: x = 2

б) log₁/₂(3x-5)= -1

1. 3x - 5 = (1/2)⁻¹ = 2
2. 3x = 7, x = 7/3

Ответ: x = 7/3

10. Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник со стороной 6 см.

1. Радиус основания r = 6/2 = 3 см
2. Образующая l = 6 см
3. Боковая поверхность S = πrl = π * 3 * 6 = 18π см²

Ответ: 18π см²