Найти объем фигуры ограниченной плоскостями x+y+z=9, x=0, y=0, z=0.

Решение:

Искомый объём фигуры можно найти с помощью тройного интеграла. Фигура ограничена плоскостью \( x+y+z=9 \) и координатными плоскостями \( x=0 \), \( y=0 \), \( z=0 \). Это означает, что мы рассматриваем часть пространства в первом октанте, отсечённую плоскостью \( x+y+z=9 \).

Область интегрирования \( D \) описывается неравенствами:

• \( 0 \le x \le 9 \)
• \( 0 \le y \le 9-x \)
• \( 0 \le z \le 9-x-y \)

Объём \( V \) вычисляется как:

\[ V = \iiint_D dV = \int_0^9 dx \int_0^{9-x} dy \int_0^{9-x-y} dz \]\[ V = \int_0^9 dx \int_0^{9-x} [z]_0^{9-x-y} dy \]\[ V = \int_0^9 dx \int_0^{9-x} (9-x-y) dy \]\[ V = \int_0^9 dx \left[ (9-x)y - \frac{y^2}{2} \right]_0^{9-x} \]\[ V = \int_0^9 \left( (9-x)(9-x) - \frac{(9-x)^2}{2} \right) dx \]\[ V = \int_0^9 \left( (9-x)^2 - \frac{(9-x)^2}{2} \right) dx \]\[ V = \int_0^9 \frac{(9-x)^2}{2} dx \]

Сделаем замену переменной: \( u = 9-x \), тогда \( du = -dx \). При \( x=0 \), \( u=9 \). При \( x=9 \), \( u=0 \).

\[ V = \int_9^0 \frac{u^2}{2} (-du) = \int_0^9 \frac{u^2}{2} du \]\[ V = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^9 \]\[ V = \frac{1}{2} \left( \frac{9^3}{3} - 0 \right) \]\[ V = \frac{1}{2} \cdot \frac{729}{3} = \frac{1}{2} \cdot 243 = \frac{243}{2} \]

Альтернативное решение (геометрическое):

Фигура, ограниченная плоскостями \( x+y+z=9 \) и координатными плоскостями \( x=0 \), \( y=0 \), \( z=0 \), представляет собой правильный тетраэдр с вершинами в точках \( (0,0,0) \), \( (9,0,0) \), \( (0,9,0) \) и \( (0,0,9) \).

Объём такого тетраэдра вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{6} |a b c| \]

где \( a, b, c \) — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях. В данном случае \( a=9, b=9, c=9 \).

\[ V = \frac{1}{6} |9 \cdot 9 \cdot 9| = \frac{9^3}{6} = \frac{729}{6} = \frac{243}{2} \]

Ответ: \( \frac{243}{2} \) куб. ед.