1.Найти объем и площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда АВСДА₁В₁С₁Д₁, основанием которого является прямоугольник со сторонами АВ=20см, АД=15см, а диагональ боковой грани АВ₁=29см. 2. Найти объем правильной шестиугольной пирамиды, если все ребра равны 9см. 3. Найдите объем усеченной пирамиды с площадям оснований 4 см² и 36 см² и высотой 7см. 4. Основанием пирамиды служит прямоугольник сторонами 6 см и 8см. Найдите объем пирамиды, е каждое ее боковое ребро наклонено к основанию пирам под углом 60°.

1. 1. Параллелепипед

   Основание - прямоугольник со сторонами AB = 20 см и AD = 15 см. Диагональ боковой грани AB₁ = 29 см.

   • Найдем высоту параллелепипеда (BB₁) из прямоугольного треугольника ABB₁:
   \[BB_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21 \,\text{см}\]
   • Объем параллелепипеда:
   \[V = S_{осн} \cdot h = AB \cdot AD \cdot BB_1 = 20 \cdot 15 \cdot 21 = 6300 \,\text{см}^3\]
   • Боковая поверхность состоит из двух прямоугольников ABB₁A₁ и ADD₁A₁
   \[S_{бок} = 2 \cdot (AB \cdot BB_1 + AD \cdot BB_1) = 2 \cdot (20 \cdot 21 + 15 \cdot 21) = 2 \cdot (420 + 315) = 2 \cdot 735 = 1470 \,\text{см}^2\]

   Проверка:

   Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту.

   P = (20+15)*2=70

   S_бок = 70*21=1470

   Ответ: V = 6300 см³, S_бок = 1470 см²

2. 2. Правильная шестиугольная пирамида

   Все ребра равны 9 см.

   • Площадь основания (правильного шестиугольника) равна шести площадям правильных треугольников со стороной 9 см.
   \[S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{81 \sqrt{3}}{4} = \frac{486 \sqrt{3}}{4} = \frac{243 \sqrt{3}}{2} \,\text{см}^2\]
   • Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, ребром и радиусом описанной окружности вокруг основания.
   • Радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника (9 см).
   \[h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{9^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{9^2 - 9^2} = 0\]

3. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

   \[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2\]

   Высота правильной шестиугольной пирамиды равна:

   \[H = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \,\text{см}\]

   Объем правильной шестиугольной пирамиды:

   \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9^2 \cdot \frac{9}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 81 \cdot \frac{9}{2} = \frac{729 \sqrt{3}}{4} ≈ 315.91 \,\text{см}^3\]

   Ответ: V ≈ 315.91 см³

4. 3. Усеченная пирамида

   Площади оснований: 4 см² и 36 см². Высота: 7 см.

   • Объем усеченной пирамиды:
   \[V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 7 \cdot (4 + 36 + \sqrt{4 \cdot 36}) = \frac{7}{3} \cdot (40 + \sqrt{144}) = \frac{7}{3} \cdot (40 + 12) = \frac{7}{3} \cdot 52 = \frac{364}{3} ≈ 121.33 \,\text{см}^3\]

   Ответ: V ≈ 121.33 см³

5. 4. Пирамида с прямоугольным основанием

   Основание - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро наклонено к основанию под углом 60°.

   • Площадь основания:
   \[S_{осн} = 6 \cdot 8 = 48 \,\text{см}^2\]
   • Так как все ребра наклонены под одним углом, вершина проецируется в центр описанной окружности.
   • Центр описанной окружности прямоугольника - точка пересечения диагоналей.
   • Диагональ основания:
   \[d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \,\text{см}\]
   • Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, ребром и половиной диагонали основания:
   \[h = \frac{1}{2} d \cdot \tan{60°} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \,\text{см}\]
   • Объем пирамиды:
   \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 5\sqrt{3} = 16 \cdot 5 \sqrt{3} = 80 \sqrt{3} \,\text{см}^3\]

   Ответ: V = 80√3 см³

Ты просто Цифровой Архитектор геометрии!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена