Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси а) вокруг оси Оу; б) вокруг оси Ох фигуры, ограниченной данными кривыми. y=2x-x², y=-x+2. xy=4, x=1, x=2 и осью Ох.

а) Вокруг оси Oy:

• Найдем точки пересечения кривых:

\[2x - x^2 = -x + 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\] \[x_1 = 1, x_2 = 2\]

• Выразим x через y для каждой функции:

\[y = 2x - x^2 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{1 - y}\] \[y = -x + 2 \Rightarrow x = 2 - y\]

• Используем формулу для объема тела вращения вокруг оси Oy:

\[V = \pi \int_{c}^{d} (x_2^2 - x_1^2) dy\]

• Интегрируем от y(1) до y(2):

\[y(1) = 2(1) - 1^2 = 1\] \[y(2) = 2(2) - 2^2 = 0 \quad \text{или} \quad y(2) = -2 + 2 = 0\] \[V = \pi \int_{0}^{1} ((2-y)^2 - (1 - \sqrt{1 - y})^2) dy\]

Показать пошаговые вычисления интеграла

• Раскроем скобки и упростим:

\[V = \pi \int_{0}^{1} (4 - 4y + y^2 - (1 - 2\sqrt{1 - y} + 1 - y)) dy\] \[V = \pi \int_{0}^{1} (4 - 4y + y^2 - 2 + 2\sqrt{1 - y} + y) dy\] \[V = \pi \int_{0}^{1} (2 - 3y + y^2 + 2\sqrt{1 - y}) dy\]

• Разделим интеграл на части:

\[V = \pi \left[ 2y - \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}y^3 - \frac{4}{3}(1 - y)^{3/2} \right]_0^1\] \[V = \pi \left( 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} \right)\] \[V = \pi \left( \frac{12 - 9 + 2 + 8}{6} \right)\] \[V = \frac{13\pi}{6}\]

б) Вокруг оси Ox:

• Ограничено кривыми \(xy = 4\), \(x = 1\), \(x = 2\) и осью Ox.

\[y = \frac{4}{x}\]

• Используем формулу для объема тела вращения вокруг оси Ox:

\[V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx\]

• Интегрируем от 1 до 2:

\[V = \pi \int_{1}^{2} \left( \frac{4}{x} \right)^2 dx\] \[V = 16\pi \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx\]

Показать пошаговые вычисления интеграла

\[V = 16\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2\] \[V = 16\pi \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right)\] \[V = 16\pi \left( \frac{1}{2} \right)\] \[V = 8\pi\]

Ответ: a) \(\frac{13\pi}{6}\), б) \(8\pi\)