Найти область сходимости функционального ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln^n(x-1)}$$. В ответе укажите значение произведения двух целых чисел, входящих в область сходимости и наиболее близких к нулю.

Для сходимости ряда необходимо, чтобы $$|\frac{1}{\ln(x-1)}| < 1$$. Это означает, что $$\ln(x-1) > 1$$ или $$\ln(x-1) < -1$$.
1. $$\ln(x-1) > 1 \implies x-1 > e \implies x > 1+e$$.
2. $$\ln(x-1) < -1 \implies 0 < x-1 < e^{-1} \implies 1 < x < 1+e^{-1}$$.
Область сходимости: $$(1, 1+e^{-1}) \cup (1+e, \infty)$$.
Целые числа, входящие в область сходимости и наиболее близкие к нулю: 2 (так как $$1+e^{-1} \approx 1.367$$) и 3 (так как $$1+e \approx 3.718$$).
Произведение: $$2 \times 3 = 6$$.