Найти обратную функцию y=f^-1(x) для функции y=f(x) (46-50):

Привет! Давай разберемся с этими заданиями. Нам нужно найти обратную функцию для каждой из заданных функций. Это значит, что мы поменяем местами x и y, а потом выразим y.

46. y = x² - 1, X ∈ (-∞; 0]

1. Меняем местами x и y:
   x = y² - 1
2. Выражаем y:
   x + 1 = y²
y = ±√(x + 1)
3. Учитываем область определения x:
   Так как исходная функция была определена для X ∈ (-∞; 0], это означает, что значения y будут отрицательными. Поэтому мы выбираем знак минус.
   y = -√(x + 1)

Ответ: y = -√(x + 1)

47. y = rac{x - 1}{x + 1}

1. Меняем местами x и y:
   x = rac{y - 1}{y + 1}
2. Выражаем y:
   x(y + 1) = y - 1
xy + x = y - 1
xy - y = -x - 1
y(x - 1) = -(x + 1)
y = -rac{x + 1}{x - 1}
   Или, умножив числитель и знаменатель на -1:
   y = rac{x + 1}{1 - x}

Ответ: y = rac{x + 1}{1 - x}

48. y = rac{1}{√{x}}

1. Меняем местами x и y:
   x = rac{1}{√{y}}
2. Выражаем y:
   √{y} = rac{1}{x}
y = rac{1}{x²}

Ответ: y = rac{1}{x²}

49. y = rac{1}{1 + x³}

1. Меняем местами x и y:
   x = rac{1}{1 + y³}
2. Выражаем y:
   1 + y³ = rac{1}{x}
y³ = rac{1}{x} - 1
y³ = rac{1 - x}{x}
y = ³√{rac{1 - x}{x}}

Ответ: y = ³√{rac{1 - x}{x}}

50. y = x|x| + 2x

1. Разбираем по случаям:
   Случай 1: x ≥ 0
   Тогда |x| = x, и функция имеет вид:
   y = x * x + 2x = x² + 2x
   Меняем местами x и y:
   x = y² + 2y
y² + 2y - x = 0
   Решаем квадратное уравнение относительно y:
   y = rac{-2 ± √{4 - 4(1)(-x)}}{2} = rac{-2 ± √{4 + 4x}}{2} = rac{-2 ± 2√{1 + x}}{2} = -1 ± √{1 + x}
   Так как для исходной функции при x ≥ 0, y = x² + 2x ≥ 0 (минимальное значение при x=0, y=0), то для обратной функции y ≥ 0. Поэтому выбираем знак плюс:
   y = -1 + √{1 + x}
2. Случай 2: x < 0
   Тогда |x| = -x, и функция имеет вид:
   y = x * (-x) + 2x = -x² + 2x
   Меняем местами x и y:
   x = -y² + 2y
y² - 2y + x = 0
   Решаем квадратное уравнение относительно y:
   y = rac{2 ± √{4 - 4(1)(x)}}{2} = rac{2 ± 2√{1 - x}}{2} = 1 ± √{1 - x}
   Для исходной функции при x < 0, y = -x² + 2x. Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -2/(2*(-1)) = 1. Так как нас интересует x < 0, то функция возрастает. При x → -∞, y → -∞. Значит, y < 0. Для обратной функции y < 0. Поэтому выбираем знак минус:
   y = 1 - √{1 - x}

Ответ:
y = -1 + √{1 + x} при x ≥ 0
y = 1 - √{1 - x} при x < 0