Найти общее решение уравнения (x² - y²)dx + 2xy dy = 0

Для решения данного уравнения необходимо проверить, является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Уравнение вида $$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$$ является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$.

В нашем случае $$P(x, y) = x^2 - y^2$$ и $$Q(x, y) = 2xy$$.

Тогда $$\frac{\partial P}{\partial y} = -2y$$ и $$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y$$.

Так как $$\\\frac{\partial P}{\partial y}
e \frac{\partial Q}{\partial x}$$, уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако можно заметить, что уравнение можно преобразовать к виду:

$$(x^2 - y^2)dx + 2xy dy = 0$$

$$x^2 dx - y^2 dx + 2xy dy = 0$$

$$x^2 dx = y^2 dx - 2xy dy$$

$$x^2 dx = -(y^2 dx - 2xy dy)$$

Разделим обе части уравнения на $$x^2$$:

$$dx = -\frac{y^2 dx - 2xy dy}{x^2}$$

$$dx = d(\frac{y^2}{x})$$

Интегрируем обе части уравнения:

$$\int dx = -\int d(\frac{y^2}{x})$$

$$x = -\frac{y^2}{x} + C$$

$$x^2 = -y^2 + Cx$$

$$x^2 + y^2 = Cx$$

$$x = C_1e^{-\frac{y^2}{x^2}}$$, не подходит

$$y = 2x^2-x^3 + C$$, не подходит

$$x = C_1e^{-\frac{y^2}{x^2}} + C_2$$, не подходит

Очевидно, что была допущена ошибка в решении. Преобразуем исходное уравнение:

$$(x^2 - y^2)dx + 2xy dy = 0$$

$$x^2 dx + 2xy dy - y^2 dx = 0$$

$$x^2 dx + d(y^2x) - xdy^2 - y^2 dx = 0$$

$$x^2dx = (y^2 -x^2)dx - 2xydy$$

$$x^2 + y^2 - Cx = 0$$, не подходит.

Похоже что нет верного ответа.

Умножим уравнение на $$x$$:

$$x^3 -xy^2+2xy=0$$

$$y= \frac{2x^2-x^3}{x}= 2x-x^2= C$$

Ответ: Решения нет.