Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Заданное уравнение является уравнением вида \( y' = f(\frac{y}{x}) \). Сделаем замену переменной \( u = \frac{y}{x} \), откуда \( y = ux \) и \( y' = u'x + u \).
Подставляем в уравнение:
\[ u'x + u = u^2 + 4u + 2 \]\[ u'x = u^2 + 3u + 2 \]\[ \frac{du}{dx} x = u^2 + 3u + 2 \]\[ \frac{du}{u^2 + 3u + 2} = \frac{dx}{x} \]Разложим знаменатель на множители:
\[ u^2 + 3u + 2 = (u+1)(u+2) \]Применим метод интегрирования методом Остроградского-Эйлера (или разложение на простейшие дроби):
\[ \int \frac{du}{(u+1)(u+2)} = \int \frac{dx}{x} \]Для интегрирования левой части, разложим дробь:
\[ \frac{1}{(u+1)(u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+2} \]\[ 1 = A(u+2) + B(u+1) \]При \( u = -1 \): \( 1 = A(-1+2) \Rightarrow A = 1 \).
При \( u = -2 \): \( 1 = B(-2+1) \Rightarrow B = -1 \).
Таким образом, интеграл принимает вид:
\[ \int (\frac{1}{u+1} - \frac{1}{u+2}) du = \int \frac{dx}{x} \]\[ \ln|u+1| - \ln|u+2| = \ln|x| + C \]\[ \ln|\frac{u+1}{u+2}| = \ln|x| + C \]\[ \frac{u+1}{u+2} = Cx \]Подставляем обратно \( u = \frac{y}{x} \):
\[ \frac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+2} = Cx \]\[ \frac{y+x}{y+2x} = Cx \]\[ y+x = Cx(y+2x) \]Проверка решения подстановкой:
Из \( \frac{y+x}{y+2x} = Cx \) выразим \( y \).
\( y+x = Cxy + 2Cx^2 \) \( y - Cxy = 2Cx^2 - x \) \( y(1-Cx) = 2Cx^2 - x \) \( y = \frac{2Cx^2 - x}{1-Cx} \)
Найдем \( y' \):
\[ y' = \frac{(4Cx - 1)(1-Cx) - (2Cx^2 - x)(-C)}{(1-Cx)^2} \]\[ y' = \frac{4Cx - 4C^2x^2 - 1 + Cx + 2C^2x^2 - Cx}{(1-Cx)^2} \]\[ y' = \frac{-2C^2x^2 - 1 + 4Cx}{(1-Cx)^2} \]Теперь подставим \( y \) в правую часть исходного уравнения \( y' = \frac{y^2}{x^2} + 4\frac{y}{x} + 2 \):
\( \frac{y}{x} = \frac{2Cx^2 - x}{x(1-Cx)} = \frac{2Cx - 1}{1-Cx} \) \( \frac{y^2}{x^2} = (\frac{2Cx - 1}{1-Cx})^2 = \frac{(2Cx-1)^2}{(1-Cx)^2} \)
Правая часть:
\( \frac{(2Cx-1)^2}{(1-Cx)^2} + 4\frac{2Cx - 1}{1-Cx} + 2 \) \( = \frac{4C^2x^2 - 4Cx + 1 + 4(2Cx-1)(1-Cx) + 2(1-Cx)^2}{(1-Cx)^2} \) \( = \frac{4C^2x^2 - 4Cx + 1 + 4(2Cx - 2C^2x^2 - 1 + Cx) + 2(1 - 2Cx + C^2x^2)}{(1-Cx)^2} \) \( = \frac{4C^2x^2 - 4Cx + 1 + 8Cx - 8C^2x^2 - 4 + 4Cx + 2 - 4Cx + 2C^2x^2}{(1-Cx)^2} \) \( = \frac{(4-8+2)C^2x^2 + (-4+8+4-4)Cx + (1-4+2)}{(1-Cx)^2} \) \( = \frac{-2C^2x^2 + 4Cx - 1}{(1-Cx)^2} \)
Сравнивая \( y' \) и правую часть, видим, что они равны: \( \frac{-2C^2x^2 - 1 + 4Cx}{(1-Cx)^2} = \frac{-2C^2x^2 + 4Cx - 1}{(1-Cx)^2} \).
Ответ: \( \frac{y+x}{y+2x} = Cx \) или \( y+x = Cx(y+2x) \).
