Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Заданное уравнение является уравнением вида \( y' = \frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2} \). Здесь \( a_1=1, b_1=2, c_1=-3, a_2=2, b_2=-2, c_2=-2 \).
Найдем точку \( (x_0, y_0) \) пересечения прямых \( x+2y-3=0 \) и \( 2x-2y-2=0 \).
Из второго уравнения: \( 2x = 2y + 2 \) \( \Rightarrow x = y + 1 \).
Подставим в первое уравнение:
\( (y+1) + 2y - 3 = 0 \) \( 3y - 2 = 0 \) \( y = \frac{2}{3} \) \( x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} \).
Сделаем замену переменных:
\( x = X + \frac{5}{3} \), \( y = Y + \frac{2}{3} \).
Тогда \( dx = dX \) и \( dy = dY \), \( y' = \frac{dY}{dX} \).
Подставим в исходное уравнение:
\( \frac{dY}{dX} = \frac{(X + \frac{5}{3}) + 2(Y + \frac{2}{3}) - 3}{2(X + \frac{5}{3}) - 2(Y + \frac{2}{3}) - 2} \) \( \frac{dY}{dX} = \frac{X + \frac{5}{3} + 2Y + \frac{4}{3} - 3}{2X + \frac{10}{3} - 2Y - \frac{4}{3} - 2} \) \( \frac{dY}{dX} = \frac{X + 2Y + \frac{9}{3} - 3}{2X - 2Y + \frac{6}{3} - 2} \) \( \frac{dY}{dX} = \frac{X + 2Y}{2X - 2Y} \)
Это однородное уравнение. Сделаем замену \( Y = tX \) \( \Rightarrow \frac{dY}{dX} = t'X + t \).
\( t'X + t = \frac{X + 2tX}{2X - 2tX} = \frac{1 + 2t}{2 - 2t} \) \( t'X = \frac{1 + 2t}{2 - 2t} - t = \frac{1 + 2t - t(2 - 2t)}{2 - 2t} \) \( t'X = \frac{1 + 2t - 2t + 2t^2}{2 - 2t} = \frac{1 + 2t^2}{2 - 2t} \) \( \frac{dt}{dX} X = \frac{1 + 2t^2}{2 - 2t} \) \( \frac{2 - 2t}{1 + 2t^2} dt = \frac{dX}{X} \)
Проинтегрируем обе части:
\( \int \frac{2 - 2t}{1 + 2t^2} dt = \int \frac{dX}{X} \)
Левая часть:
\( \int \frac{2}{1 + 2t^2} dt - \int \frac{2t}{1 + 2t^2} dt \)
Первый интеграл:
\( 2 \int \frac{dt}{1 + (\sqrt{2}t)^2} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2}t) = \sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}t) \).
Второй интеграл:
Пусть \( u = 1 + 2t^2 \) \( \Rightarrow du = 4t dt \) \( \Rightarrow 2t dt = \frac{1}{2} du \).
\( -\int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = -\frac{1}{2} \ln|u| = -\frac{1}{2} \ln(1 + 2t^2) \).
Итак, левая часть интеграла:
\( \sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}t) - \frac{1}{2} \ln(1 + 2t^2) \).
Правая часть интеграла:
\( \int \frac{dX}{X} = \ln|X| + C \).
Объединяем:
\( \sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}t) - \frac{1}{2} \ln(1 + 2t^2) = \ln|X| + C \).
Подставляем обратно \( t = \frac{Y}{X} \):
\( \sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{Y}{X}) - \frac{1}{2} \ln(1 + 2\frac{Y^2}{X^2}) = \ln|X| + C \).
Подставляем обратно \( X = x - \frac{5}{3} \) и \( Y = y - \frac{2}{3} \):
\( \sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{y - \frac{2}{3}}{x - \frac{5}{3}}) - \frac{1}{2} \ln(1 + 2(\frac{y - \frac{2}{3}}{x - \frac{5}{3}})^2) = \ln|x - \frac{5}{3}| + C \).
Умножим на 2 для упрощения:
\( 2\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{3y - 2}{3x - 5}) - \ln(1 + 2\frac{(3y - 2)^2}{(3x - 5)^2}) = 2\ln|3x - 5| + C_1 \).
\( 2\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{3y - 2}{3x - 5}) - \ln(\frac{(3x - 5)^2 + 2(3y - 2)^2}{(3x - 5)^2}) = 2\ln|3x - 5| + C_1 \).
\( 2\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{3y - 2}{3x - 5}) - \ln((3x - 5)^2 + 2(3y - 2)^2) + 2\ln|3x - 5| = 2\ln|3x - 5| + C_1 \).
\( 2\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{3y - 2}{3x - 5}) - \ln((3x - 5)^2 + 2(3y - 2)^2) = C_1 \).
Обозначим \( C_1 = -C_2 \).
\( \ln((3x - 5)^2 + 2(3y - 2)^2) - 2\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{3y - 2}{3x - 5}) = C_2 \).
Ответ: \( \ln((3x - 5)^2 + 2(3y - 2)^2) - 2\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}\frac{3y - 2}{3x - 5}) = C \).
