Найти общий вид первообразных для функции: 1. y = cos(1 + x), 2. y = 2sin(x-2), 3. y=4 sin(2x-3), 4. y = 1+3 cos(3x-4), 5. y = 8 cos 16x, 6. y = 2 cos x sin x, 7. y = cos²x - sin²x, 8. y = (cosx + sinx)², 9. y = (cos x - sinx)², 10.y = (cosx - sinx)(cosx + sin x).

Решение:

Для нахождения общего вида первообразных будем использовать правила интегрирования:

• Интеграл от cos(ax + b) dx = (1/a)sin(ax + b) + C
• Интеграл от sin(ax + b) dx = -(1/a)cos(ax + b) + C
• Интеграл от k*f(x) dx = k * интеграл от f(x) dx
• Интеграл от (f(x) + g(x)) dx = интеграл от f(x) dx + интеграл от g(x) dx

1. \[ \int \cos(1+x) dx = \sin(1+x) + C \]
2. \[ \int 2\sin(x-2) dx = 2 \int \sin(x-2) dx = -2\cos(x-2) + C \]
3. \[ \int 4\sin(2x-3) dx = 4 \int \sin(2x-3) dx = 4 \left( -\frac{1}{2}\cos(2x-3) \right) + C = -2\cos(2x-3) + C \]
4. \[ \int (1 + 3\cos(3x-4)) dx = \int 1 dx + 3 \int \cos(3x-4) dx = x + 3 \left( \frac{1}{3}\sin(3x-4) \right) + C = x + \sin(3x-4) + C \]
5. \[ \int 8\cos(16x) dx = 8 \int \cos(16x) dx = 8 \left( \frac{1}{16}\sin(16x) \right) + C = \frac{1}{2}\sin(16x) + C \]
6. \[ \int 2\cos x \sin x dx = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \]
7. \[ \int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C \]
8. \[ \int (\cos x + \sin x)^2 dx = \int (\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x) dx = \int (1 + \sin(2x)) dx = x - \frac{1}{2}\cos(2x) + C \]
9. \[ \int (\cos x - \sin x)^2 dx = \int (\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x) dx = \int (1 - \sin(2x)) dx = x + \frac{1}{2}\cos(2x) + C \]
10. \[ \int (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) dx = \int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C \]