Найти одну из первообразных функции (988-990). 988 1) 2x5 – 3x2; 2) 5x4 + 2x³; 3) \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}; 4) \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}; 5) 6x2 - 4x + 3; 6) 4\sqrt[3]{x}-6 √x.

1) Найдём первообразную функции $$2x^5 - 3x^2$$.

Первообразная $$x^n$$ это $$\frac{x^{n+1}}{n+1}$$.

Первообразная $$2x^5$$ это $$2 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 2 \cdot \frac{x^6}{6} = \frac{x^6}{3}$$.

Первообразная $$-3x^2$$ это $$ -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$$.

Первообразная функции $$2x^5 - 3x^2$$ это $$ \frac{x^6}{3} - x^3 + C$$.

Ответ: $$\frac{x^6}{3} - x^3 + C$$

2) Найдём первообразную функции $$5x^4 + 2x^3$$.

Первообразная $$x^n$$ это $$\frac{x^{n+1}}{n+1}$$.

Первообразная $$5x^4$$ это $$5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$$.

Первообразная $$2x^3$$ это $$2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$$.

Первообразная функции $$5x^4 + 2x^3$$ это $$x^5 + \frac{x^4}{2} + C$$.

Ответ: $$x^5 + \frac{x^4}{2} + C$$

3) Найдём первообразную функции $$\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$$.

Первообразная $$\frac{1}{x}$$ это $$ln|x|$$.

Первообразная $$\frac{2}{x}$$ это $$2ln|x|$$.

Первообразная $$ \frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$$ это $$3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x}$$.

Первообразная функции $$\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$$ это $$2ln|x| - \frac{3}{x} + C$$.

Ответ: $$2ln|x| - \frac{3}{x} + C$$

4) Найдём первообразную функции $$\frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$$.

Первообразная $$\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$$ это $$2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{x^2}$$.

Первообразная $$\frac{3}{x}$$ это $$3ln|x|$$.

Тогда первообразная функции $$\frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$$ это $$- \frac{1}{x^2} - 3ln|x| + C$$.

Ответ: $$- \frac{1}{x^2} - 3ln|x| + C$$

5) Найдём первообразную функции $$6x^2 - 4x + 3$$.

Первообразная $$6x^2$$ это $$6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$$.

Первообразная $$-4x$$ это $$-4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$$.

Первообразная $$3$$ это $$3x$$.

Тогда первообразная функции $$6x^2 - 4x + 3$$ это $$2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$.

Ответ: $$2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$

6) Найдём первообразную функции $$4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$$.

Первообразная $$4\sqrt[3]{x} = 4x^{\frac{1}{3}}$$ это $$4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}} = 3 \sqrt[3]{x^4} = 3x \sqrt[3]{x}$$.

Первообразная $$-6\sqrt{x} = -6x^{\frac{1}{2}}$$ это $$-6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = -6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = -4x^{\frac{3}{2}} = -4x\sqrt{x}$$.

Тогда первообразная функции $$4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$$ это $$3x\sqrt[3]{x} - 4x\sqrt{x} + C$$.

Ответ: $$3x\sqrt[3]{x} - 4x\sqrt{x} + C$$