Найти: P(A), P(B), P(AUB), P(ANB), P(A∩B), P(AUB), P(A U B) = , P(A ∩ B) = , P(A ∩ B) = , P(A U B) =

Решение:

Для решения задачи воспользуемся данными из диаграмм Венна.

1. На диаграмме изображены:

• Общее число элементов в круге A: 3 элемента.
• Общее число элементов в круге B: 4 элемента.
• Общее число элементов в пересечении A и B: 2 элемента.
• Общее число элементов вне A и B (в универсальном множестве): 5 элементов.
• Общее число элементов во всей диаграмме (универсальное множество): 3 + 2 + 4 + 5 = 14 элементов.

Вероятности для первой диаграммы:

• \( P(A) = \frac{\text{Число элементов в A}}{\text{Общее число элементов}} = \frac{3}{14} \)
• \( P(B) = \frac{\text{Число элементов в B}}{\text{Общее число элементов}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)
• \( P(A \cup B) = \frac{\text{Число элементов в A или B (или в обоих)}}{\text{Общее число элементов}} = \frac{3 + 2 + 4}{14} = \frac{9}{14} \)
• \( P(A \cap B) = \frac{\text{Число элементов в пересечении A и B}}{\text{Общее число элементов}} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \)
• \( P(\overline{A} \cap B) = \frac{\text{Число элементов только в B}}{\text{Общее число элементов}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)
• \( P(A \cap \overline{B}) = \frac{\text{Число элементов только в A}}{\text{Общее число элементов}} = \frac{3}{14} \)

2. На диаграмме изображены вероятности:

• \( P(A) = 0.3 \)
• \( P(B) = 0.3 \)
• \( P(A \cap B) = 0.2 \)

Вероятности для второй диаграммы:

• \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.3 - 0.2 = 0.4 \)
• \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7 \)
• \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7 \)
• \( P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.2 = 0.1 \)
• \( P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.2 = 0.1 \)
• \( P(\overline{A} \cup B) = P(\overline{A}) + P(B) - P(\overline{A}
  cap B) = 0.7 + 0.3 - 0.1 = 0.9 \)
• \( P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A
  cap \overline{B}) = 0.3 + 0.7 - 0.1 = 0.9 \)
• \( P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.4 = 0.6 \)

Заполняем пропуски:

• P(A) = \( \frac{3}{14} \)
• P(B) = \( \frac{2}{7} \)
• P(A U B) = \( \frac{9}{14} \)
• P(A ∩ B) = \( \frac{1}{7} \)
• P(A ∩ B) = \( \frac{2}{7} \)
• P(A U B) = \( \frac{3}{14} \)
• P(A U B) = \( 0.4 \)
• P(A ∩ B) = \( 0.2 \)
• P(A ∩ B) = \( 0.1 \)
• P(A U B) = \( 0.6 \)

Ответ: P(A) = \( \frac{3}{14} \), P(B) = \( \frac{2}{7} \), P(A U B) = \( \frac{9}{14} \), P(A ∩ B) = \( \frac{1}{7} \), P(A ∩ B) = \( \frac{2}{7} \), P(A U B) = \( \frac{3}{14} \). Для второй диаграммы: P(A U B) = \( 0.4 \), P(A ∩ B) = \( 0.2 \), P(A ∩ B) = \( 0.1 \), P(A U B) = \( 0.6 \).