2. Найти первообразную: 1) f(x) = \frac{5}{x^6} - \frac{3}{x} 2) f(x) = (2x+5)^{10} 3) f(x) = cos \frac{x}{3} + e^{-3x}

Question

Вопрос:

2. Найти первообразную: 1) f(x) = \frac{5}{x^6} - \frac{3}{x} 2) f(x) = (2x+5)^{10} 3) f(x) = cos \frac{x}{3} + e^{-3x}

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для нахождения первообразной функции нужно применить правила интегрирования, учитывая свойства степенных, тригонометрических и экспоненциальных функций.

1) f(x) = \frac{5}{x^6} - \frac{3}{x}

Представим функцию в виде: \[f(x) = 5x^{-6} - 3\frac{1}{x}\]
Первообразная для \[x^{-6}\] находится как: \[\int x^{-6} dx = \frac{x^{-6+1}}{-6+1} = \frac{x^{-5}}{-5} = -\frac{1}{5x^5}\]
Первообразная для \(\frac{1}{x}\) это: \[\int \frac{1}{x} dx = ln|x|\]
Итого, первообразная для всей функции: \[F(x) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5x^5}\right) - 3 ln|x| + C = -\frac{1}{x^5} - 3 ln|x| + C\]

2) f(x) = (2x+5)^{10}

Используем замену переменной: \[u = 2x + 5\], тогда \[du = 2dx\] и \[dx = \frac{1}{2}du\]
Интеграл преобразуется к виду: \[\int (2x+5)^{10} dx = \int u^{10} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{10} du\]
Первообразная для \[u^{10}\] находится как: \[\frac{1}{2} \int u^{10} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{22} + C\]
Возвращаемся к исходной переменной: \[F(x) = \frac{(2x+5)^{11}}{22} + C\]

3) f(x) = cos \frac{x}{3} + e^{-3x}

Первообразная для \[cos \frac{x}{3}\] находится как: \[\int cos \frac{x}{3} dx = 3 sin \frac{x}{3} + C_1\]
Первообразная для \[e^{-3x}\] находится как: \[\int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} e^{-3x} + C_2\]
Итого, первообразная для всей функции: \[F(x) = 3 sin \frac{x}{3} - \frac{1}{3} e^{-3x} + C\]

Ответ: 1) -\frac{1}{x^5} - 3 ln|x| + C; 2) \frac{(2x+5)^{11}}{22} + C; 3) 3 sin \frac{x}{3} - \frac{1}{3} e^{-3x} + C