1. Найти первообразную в общем виде a) f(x) = x^3/3 - 2x^2 - 12x + 5 b) f(x) = x^2/3 - sin2x/3 c) f(x) = (4-3x)^2/6 f(x) = x^3/2 - cos3x/2 f(x) = 4/(3-0,5x)^2 f(x) = x^3/6 - 3x^2 - 14x + 3

Здравствуйте! Давайте выполним это задание по математике. Нам нужно найти первообразные для каждой из заданных функций. а) \( f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 12x + 5 \) Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = \int (\frac{x^3}{3} - 2x^2 - 12x + 5) dx = \frac{x^4}{12} - \frac{2x^3}{3} - 6x^2 + 5x + C \] б) \( f(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{\sin(2x)}{3} \) Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = \int (\frac{x^2}{3} - \frac{\sin(2x)}{3}) dx = \frac{x^3}{9} + \frac{\cos(2x)}{6} + C \] с) \( f(x) = \frac{(4-3x)^2}{6} \) Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = \int \frac{(4-3x)^2}{6} dx = \int \frac{16 - 24x + 9x^2}{6} dx = \frac{16x}{6} - \frac{12x^2}{6} + \frac{3x^3}{6} + C = \frac{8x}{3} - 2x^2 + \frac{x^3}{2} + C \] Или, если упростить исходную функцию: \[ f(x) = \frac{(4-3x)^3}{-18} + C \] Для функции \( f(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{\cos(3x)}{2} \) Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = \int (\frac{x^3}{2} - \frac{\cos(3x)}{2}) dx = \frac{x^4}{8} - \frac{\sin(3x)}{6} + C \] Для функции \( f(x) = \frac{4}{(3-0.5x)^2} \) Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = \int \frac{4}{(3-0.5x)^2} dx \] Заметим, что \( (3-0.5x)^{-2} \), тогда \[ F(x) = 4 \cdot \frac{(3-0.5x)^{-1}}{-1 \cdot (-0.5)} + C = \frac{8}{3-0.5x} + C \] Для функции \( f(x) = \frac{x^3}{6} - 3x^2 - 14x + 3 \) Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = \int (\frac{x^3}{6} - 3x^2 - 14x + 3) dx = \frac{x^4}{24} - x^3 - 7x^2 + 3x + C \]

Ответ:

Первообразные найдены для каждой функции.

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в дальнейшем изучении математики!