Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 1/x, x = 3.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = \frac{1}{x} \) и \( x = 3 \), нам необходимо определить пределы интегрирования.

Сначала найдём точку пересечения кривых \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \):

\[ x = \frac{1}{x} \]

\[ x^2 = 1 \]

Отсюда \( x = 1 \) (так как \( x=3 \) — это правая граница, и мы рассматриваем область, где \( x > 0 \)).

На интервале \( [1, 3] \) функция \( y = x \) находится выше \( y = \frac{1}{x} \), так как для \( x > 1 \), \( x > \frac{1}{x} \).

Площадь фигуры \( S \) вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по заданному интервалу:

\[ S = \int_{1}^{3} \left( x - \frac{1}{x} \right) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \ln|x| \right]_{1}^{3} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left( \frac{3^2}{2} - \ln|3| \right) - \left( \frac{1^2}{2} - \ln|1| \right) \]

\[ S = \left( \frac{9}{2} - \ln 3 \right) - \left( \frac{1}{2} - 0 \right) \]

\[ S = \frac{9}{2} - \ln 3 - \frac{1}{2} \]

\[ S = \frac{8}{2} - \ln 3 \]

\[ S = 4 - \ln 3 \]

Приближенное значение \( \ln 3 \approx 1.0986 \).

\[ S \approx 4 - 1.0986 \approx 2.9014 \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( 4 - \ln 3 \).