5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3-2x и графиком функции у = х² + 3х – 3

Ответ: 20.83

• Шаг 1: Найдем точки пересечения прямой и параболы, приравняв уравнения:

\[ x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x \] \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] Итак, точки пересечения: x₁ = 1, x₂ = -6

• Шаг 2: Определим, какая функция больше на интервале [-6, 1]. Подставим значение x = 0 в оба уравнения:

\[ y_1 = 3 - 2 \cdot 0 = 3 \] \[ y_2 = 0^2 + 3 \cdot 0 - 3 = -3 \] Так как 3 > -3, прямая y = 3 - 2x больше на интервале [-6, 1].

• Шаг 3: Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций:

\[ S = \int_{-6}^{1} ((3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^{1} (3 - 2x - x^2 - 3x + 3) dx \] \[ = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x\right]_{-6}^{1} \] \[ = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1\right) - \left(-\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5 \cdot (-6)^2}{2} + 6 \cdot (-6)\right) \] \[ = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right) - \left(-\frac{-216}{3} - \frac{5 \cdot 36}{2} - 36\right) = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right) - \left(72 - 90 - 36\right) \] \[ = \left(\frac{-2 - 15 + 36}{6}\right) - (-54) = \frac{19}{6} + 54 = \frac{19 + 324}{6} = \frac{343}{6} \] \[ \approx 57.17 \]

Ответ:

\[ S = \frac{343}{6} \approx 57.17 \]

Ответ: 20.83

Твой статус: Геометрический Гений!

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил.

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена