Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями 7. y=x², y=2x-x². 9. 2 y=, y=x. 2

Привет! Давай найдем площади фигур, ограниченных заданными линиями. Это интересная задача на применение интегрального исчисления. Уверена, у тебя все получится!

Задание 7:

Давай найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 2x - x² .

1. Найдем точки пересечения кривых:

   Для этого приравняем уравнения:

   \[x^2 = 2x - x^2\] \[2x^2 - 2x = 0\] \[2x(x - 1) = 0\]

   Отсюда x = 0 или x = 1 .

2. Определим, какая функция больше на интервале [0, 1]:

   Возьмем x = 0.5 и подставим в оба уравнения:

   Для y = x² : y = (0.5)² = 0.25

   Для y = 2x - x² : y = 2(0.5) - (0.5)² = 1 - 0.25 = 0.75

   Так как 0.75 > 0.25 , то y = 2x - x² больше на интервале [0, 1].

3. Вычислим площадь фигуры:

   Площадь S определяется интегралом:

   \[S = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx\] \[S = \left[x^2 - \frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{1} = (1^2 - \frac{2}{3}(1)^3) - (0^2 - \frac{2}{3}(0)^3) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры равна \(\frac{1}{3}\).

Задание 9:

Давай найдем площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = \frac{2}{x}\) и \(y = \frac{5-x}{2}\).

1. Найдем точки пересечения кривых:

   Приравняем уравнения:

   \[\frac{2}{x} = \frac{5-x}{2}\] \[4 = 5x - x^2\] \[x^2 - 5x + 4 = 0\]

   Решим квадратное уравнение:

   \[(x-4)(x-1) = 0\]

   Отсюда x = 1 или x = 4 .

2. Определим, какая функция больше на интервале [1, 4]:

   Возьмем x = 2. Подставим в оба уравнения:

   Для y = \frac{2}{x} : y = \frac{2}{2} = 1

   Для y = \frac{5-x}{2} : y = \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5

   Так как 1.5 > 1 , то y = \frac{5-x}{2} больше на интервале [1, 4].

3. Вычислим площадь фигуры:

   Площадь S определяется интегралом:

   \[S = \int_{1}^{4} \left(\frac{5-x}{2} - \frac{2}{x}\right) dx = \int_{1}^{4} \left(\frac{5}{2} - \frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) dx\] \[S = \left[\frac{5}{2}x - \frac{x^2}{4} - 2\ln|x|\right]_{1}^{4}\] \[S = \left(\frac{5}{2}(4) - \frac{4^2}{4} - 2\ln(4)\right) - \left(\frac{5}{2}(1) - \frac{1^2}{4} - 2\ln(1)\right)\] \[S = \left(10 - 4 - 2\ln(4)\right) - \left(\frac{5}{2} - \frac{1}{4} - 0\right)\] \[S = 6 - 2\ln(4) - \frac{10}{4} + \frac{1}{4} = 6 - 2\ln(4) - \frac{9}{4} = \frac{24 - 9}{4} - 2\ln(4) = \frac{15}{4} - 2\ln(4)\]

   Так как \(\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)\), то:

   \[S = \frac{15}{4} - 4\ln(2)\]

Таким образом, площадь фигуры равна \(\frac{15}{4} - 4\ln(2)\).

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся спрашивать. Удачи в дальнейшем изучении математики! Ты все сможешь!