2. Найти полный дифференциал функции двух переменных z = ln(x² + y²)

Ответ: dz = \(\frac{2x}{x^2 + y^2}\)dx + \(\frac{2y}{x^2 + y^2}\)dy

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим частную производную по x

  Для функции z = ln(x² + y²) найдем частную производную \(\frac{\partial z}{\partial x}\).

  Используем правило дифференцирования сложной функции: \(\frac{d}{dx} ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\), где u = x² + y².

  Тогда: \[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}\]

• Шаг 2: Находим частную производную по y

  Теперь найдем частную производную \(\frac{\partial z}{\partial y}\) для функции z = ln(x² + y²).

  Аналогично, используем правило дифференцирования сложной функции: \[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}\]

• Шаг 3: Записываем полный дифференциал

  Полный дифференциал dz функции z(x, y) определяется как: \[dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy\]

  Подставляем найденные частные производные: \[dz = \frac{2x}{x^2 + y^2}dx + \frac{2y}{x^2 + y^2}dy\]

Ответ: dz = \(\frac{2x}{x^2 + y^2}\)dx + \(\frac{2y}{x^2 + y^2}\)dy

Result Card:

Математический ниндзя! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей