Найти предел функции lim x->inf x sin(pi/x)

Привет! Давай разберем этот предел вместе.

Постановка задачи:

• Нужно найти предел функции: \[ \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{\pi}{x} \]

Шаги решения:

1. Замена переменной:
• Давай сделаем замену. Пусть $$t = \frac{\pi}{x}$$.
• Когда $$x \to \infty$$, то $$t = \frac{\pi}{x} \to 0$$.
• Из $$t = \frac{\pi}{x}$$ следует, что $$x = \frac{\pi}{t}$$.
2. Подстановка в предел:
• Теперь подставим $$x$$ и $$t$$ в исходный предел:
• \[ \lim_{t \to 0} \frac{\pi}{t} \sin t \]
3. Преобразование выражения:
• Вынесем константу $$\pi$$ за знак предела:
• \[ \pi \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \]
4. Использование известного предела:
• Мы знаем, что предел \[ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \]
• Это один из замечательных пределов.
5. Финальный расчет:
• Подставим значение известного предела:
• \[ \pi \times 1 = \pi \]

Почему это работает?

• Когда $$x$$ стремится к бесконечности, аргумент синуса ($$\frac{\pi}{x}$$) стремится к нулю.
• Предел $$\frac{\sin t}{t}$$ при $$t \to 0$$ равен 1 — это фундаментальный результат в анализе.
• Таким образом, мы свели сложный предел к известному, умножив его на константу $$\pi$$.

Ответ: \[ \pi \]