Найти пределы: ) $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2+4x-12}$; ) $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$; ) $\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x-3}$; ) $\lim_{x\to-3}\frac{x^2+6x+9}{x^2+x-6}$; ) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^5-3x^3+1}{x^5+4x^2+2x}$; $\in$) $\lim_{x\to5}\frac{x^2-7x+10}{x^2-9x+20}$; $\cdot$) $\lim_{x\to2}\frac{x^2+14x-32}{x^2-6x+8}$; ) $\lim_{x\to3}\frac{x^2-x}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найти пределы: ) $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2+4x-12}$; ) $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$; )…$ Фото задания

Accepted Answer

При подстановке получается неопределённость $0/0$. Разложим многочлены на множители:
$\frac{x^2-4}{x^2+4x-12}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+6)}=\frac{x+2}{x+6}$.
Следовательно, $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2+4x-12}=\frac{4}{8}=\frac12$.
$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, поэтому $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$.
$\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2$, поэтому $\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x-3}=1$.
$\frac{x^2+6x+9}{x^2+x-6}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}=\frac{x+3}{x-2}$, поэтому $\lim_{x\to-3}\frac{x^2+6x+9}{x^2+x-6}=0$.
В числителе и знаменателе старшая степень — $x^5$. Предел равен отношению старших коэффициентов: $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^5-3x^3+1}{x^5+4x^2+2x}=2$.
$\frac{x^2-7x+10}{x^2-9x+20}=\frac{(x-5)(x-2)}{(x-5)(x-4)}=\frac{x-2}{x-4}$, поэтому $\lim_{x\to5}\frac{x^2-7x+10}{x^2-9x+20}=\frac{3}{1}=3$.
$\frac{x^2+14x-32}{x^2-6x+8}=\frac{(x+16)(x-2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{x+16}{x-4}$, поэтому $\lim_{x\to2}\frac{x^2+14x-32}{x^2-6x+8}=\frac{18}{-2}=-9$.
При $x\ne0$, $\frac{x^2-x}{x}=x-1$. Следовательно, $\lim_{x\to3}\frac{x^2-x}{x}=2$.

Ответ: