Найти производную: 1. e^(3x) - 1/x^2, 2. cos(x^3), 3. 2 log_3 x - e^(-x), 4. sqrt(ln x), 5. e^(1-x) * cos(2x), 6. 3^x / sin x

Задание 1. Производная e^3x - 1/x²

Разложим функцию на составляющие и найдем производные:

• Производная от \( e^{3x} \): применяем правило цепной производной. \( \frac{d}{dx}(e^{3x}) = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x} \).
• Производная от \( \frac{1}{x^2} = x^{-2} \): \( \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \).

Теперь объединим:

\[ \frac{d}{dx}(e^{3x} - \frac{1}{x^2}) = 3e^{3x} - (-\frac{2}{x^3}) = 3e^{3x} + \frac{2}{x^3} \]

Ответ: \( 3e^{3x} + \frac{2}{x^3} \)

Задание 2. Производная cos(x³)

Применяем правило цепной производной:

• Внешняя функция: \( \cos u \), её производная \( -\sin u \).
• Внутренняя функция: \( x^3 \), её производная \( 3x^2 \).

Следовательно:

\[ \frac{d}{dx}(\cos(x^3)) = -\sin(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3) \]

Ответ: \( -3x^2 \sin(x^3) \)

Задание 3. Производная 2 log₃ x - e^-x

Находим производные от каждого члена:

• Производная от \( 2 \log_3 x \): \( \frac{d}{dx}(2 \log_3 x) = 2 \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{2}{x \ln 3} \).
• Производная от \( e^{-x} \): применяем правило цепной производной. \( \frac{d}{dx}(e^{-x}) = e^{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} \).

Объединяем:

\[ \frac{d}{dx}(2 \log_3 x - e^{-x}) = \frac{2}{x \ln 3} - (-e^{-x}) = \frac{2}{x \ln 3} + e^{-x} \]

Ответ: \( \frac{2}{x \ln 3} + e^{-x} \)

Задание 4. Производная √ln x

Применяем правило цепной производной:

• Внешняя функция: \( \sqrt{u} \), её производная \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \).
• Внутренняя функция: \( \ln x \), её производная \( \frac{1}{x} \).

Следовательно:

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{\ln x}) = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}} \]

Ответ: \( \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}} \)

Задание 5. Производная e^1-x ⋅ cos(2x)

Применяем правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

• \( u = e^{1-x} \), \( u' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x} \).
• \( v = \cos(2x) \), \( v' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x) \).

Подставляем в формулу:

\[ \frac{d}{dx}(e^{1-x} \cdot \cos(2x)) = (-e^{1-x}) \cdot \cos(2x) + e^{1-x} \cdot (-2\sin(2x)) \]

Выносим общий множитель \( e^{1-x} \):

\[ = e^{1-x}(-\cos(2x) - 2\sin(2x)) \]

Ответ: \( -e^{1-x}(\cos(2x) + 2\sin(2x)) \)

Задание 6. Производная 3^x / sin x

Применяем правило производной частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

• \( u = 3^x \), \( u' = 3^x \ln 3 \).
• \( v = \sin x \), \( v' = \cos x \).

Подставляем в формулу:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3^x}{\sin x}\right) = \frac{(3^x \ln 3) \cdot \sin x - 3^x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} \]

Выносим общий множитель \( 3^x \) в числителе:

\[ = \frac{3^x(\ln 3 \sin x - \cos x)}{\sin^2 x} \]

Ответ: \( \frac{3^x(\ln 3 \sin x - \cos x)}{\sin^2 x} \)