1. Найти производную: а) 7х3-2x7 6) 4x2 3x + 5Sin(x) в) (2x2 + ln(x))(4 + x3) г) x²-1/x 2. Найти значение производной в точке хо: a) y = cos(x) +2x3, Χο= π/2 3. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = 3х2 + 2х в точке хо= 2 4. Точка движется по прямолинейному закону x(t)=2,5t2-10t+ 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 40? 5. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x) = 1+ x/x2+3 отрицательно.

Разбираемся с задачами на нахождение производных и применение производной. 1. Найти производную: а) \(y = 7x^3 - 2x^7\) Логика такая: используем правило, что производная от \(x^n\) это \(nx^{n-1}\). \(y' = 7 \cdot 3x^2 - 2 \cdot 7x^6 = 21x^2 - 14x^6\) б) \(y = 4x^2 - 3x + 5\sin(x)\) Логика такая: производная от \(\sin(x)\) это \(\cos(x)\). \(y' = 4 \cdot 2x - 3 + 5\cos(x) = 8x - 3 + 5\cos(x)\) в) \(y = (2x^2 + \ln(x))(4 + x^3)\) Логика такая: используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\). \(y' = (4x + \frac{1}{x})(4 + x^3) + (2x^2 + \ln(x))(3x^2) = 16x + 4x^4 + \frac{4}{x} + x^2 + 6x^4 + 3x^2\ln(x) = 10x^4 + 4x^2 + 16x + \frac{4}{x} + 3x^2\ln(x)\) г) \(y = \frac{x^2 - 1}{x}\) Логика такая: используем правило частного: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). \(y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 - 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1 + \frac{1}{x^2}\) 2. Найти значение производной в точке \(x_0\): а) \(y = \cos(x) + 2x^3, x_0 = \frac{\pi}{2}\) Логика такая: сначала находим производную, затем подставляем значение \(x_0\). \(y' = -\sin(x) + 6x^2\) \(y'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) + 6(\frac{\pi}{2})^2 = -1 + 6 \cdot \frac{\pi^2}{4} = -1 + \frac{3\pi^2}{2}\) 3. Записать уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 3x^2 + 2x\) в точке \(x_0 = 2\) Логика такая: уравнение касательной: \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\). \(f(x_0) = f(2) = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16\) \(f'(x) = 6x + 2\) \(f'(x_0) = f'(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14\) \(y = 14(x - 2) + 16 = 14x - 28 + 16 = 14x - 12\) 4. Точка движется по прямолинейному закону \(x(t) = 2.5t^2 - 10t + 11\). В какой момент времени скорость тела будет равна 40? Логика такая: скорость это производная от координаты по времени. \(v(t) = x'(t) = 5t - 10\) Нам нужно найти t такое, что \(v(t) = 40\). \(5t - 10 = 40\) \(5t = 50\) \(t = 10\) 5. Найти значения x, при которых значения производной функции \(f(x) = \frac{1 + x}{x^2 + 3}\) отрицательно. Логика такая: сначала найдем производную, затем решим неравенство \(f'(x) < 0\). \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - (1 + x) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^2 + 3 - 2x - 2x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2}\) Нам нужно решить неравенство \(\frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} < 0\). Так как \((x^2 + 3)^2 > 0\) всегда, неравенство эквивалентно \(-x^2 - 2x + 3 < 0\), или \(x^2 + 2x - 3 > 0\). \(x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\) Неравенство \((x + 3)(x - 1) > 0\) выполняется при \(x < -3\) или \(x > 1\). Ответы: 1. Производные: а) \(21x^2 - 14x^6\) б) \(8x - 3 + 5\cos(x)\) в) \(10x^4 + 4x^2 + 16x + \frac{4}{x} + 3x^2\ln(x)\) г) \(1 + \frac{1}{x^2}\) 2. Значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\): \(-1 + \frac{3\pi^2}{2}\) 3. Уравнение касательной: \(y = 14x - 12\) 4. Момент времени: \(t = 10\) 5. Значения x: \(x < -3\) или \(x > 1\)