Найти производную функции \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} $$y = \frac{e^{x^2} - e^{-x^2}}{2x}$$ \end{document}

Здравствуйте, ученик! Давайте найдем производную заданной функции. Функция имеет вид:

$$y = \frac{e^{x^2} - e^{-x^2}}{2x}$$

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

где $$u = e^{x^2} - e^{-x^2}$$ и $$v = 2x$$.

Найдем производные $$u'$$ и $$v'$$.

$$u' = (e^{x^2} - e^{-x^2})' = (e^{x^2})' - (e^{-x^2})'$$

Используем правило производной сложной функции: $$(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$.

Тогда:

$$(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$$

$$(e^{-x^2})' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$$

Следовательно,

$$u' = 2xe^{x^2} - (-2xe^{-x^2}) = 2xe^{x^2} + 2xe^{-x^2} = 2x(e^{x^2} + e^{-x^2})$$

Производная $$v = 2x$$:

$$v' = (2x)' = 2$$

Теперь подставим все в формулу производной частного:

$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(e^{x^2} + e^{-x^2}) \cdot 2x - (e^{x^2} - e^{-x^2}) \cdot 2}{(2x)^2}$$

$$y' = \frac{4x^2(e^{x^2} + e^{-x^2}) - 2(e^{x^2} - e^{-x^2})}{4x^2}$$

$$y' = \frac{2x^2(e^{x^2} + e^{-x^2}) - (e^{x^2} - e^{-x^2})}{2x^2}$$

$$y' = \frac{2x^2e^{x^2} + 2x^2e^{-x^2} - e^{x^2} + e^{-x^2}}{2x^2}$$

$$y' = \frac{(2x^2 - 1)e^{x^2} + (2x^2 + 1)e^{-x^2}}{2x^2}$$

Ответ: $$y' = \frac{(2x^2 - 1)e^{x^2} + (2x^2 + 1)e^{-x^2}}{2x^2}$$