Найти производную функции: 1) \[\frac{x^5 + x^3 + x}{x + 1}\]

Привет! Давай разберёмся, как найти производную этой функции. Это похоже на математический квест!

Шаг 1: Понимаем, что нужно делать.

У нас есть дробь, и нам нужно найти её производную. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования дроби (частного). Помнишь такое? Если нет, не переживай, я напомню!

Шаг 2: Вспоминаем формулу.

Правило дифференцирования частного выглядит так:

Если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \).

Где \( u'(x) \) — это производная от числителя, а \( v'(x) \) — производная от знаменателя.

Шаг 3: Определяем числитель и знаменатель.

В нашем случае:

• Числитель \( u(x) = x^5 + x^3 + x \)
• Знаменатель \( v(x) = x + 1 \)

Шаг 4: Находим производные числителя и знаменателя.

Производная от \( u(x) \):

\( u'(x) = (x^5 + x^3 + x)' \)

Вспоминаем, что производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). Производная от \( x \) равна 1.

\( u'(x) = 5x^{5-1} + 3x^{3-1} + 1 = 5x^4 + 3x^2 + 1 \)

Производная от \( v(x) \):

\( v'(x) = (x + 1)' \)

Производная от \( x \) равна 1, а производная от константы (числа) равна 0.

\( v'(x) = 1 + 0 = 1 \)

Шаг 5: Подставляем всё в формулу.

Теперь у нас есть все компоненты, чтобы подставить их в нашу формулу:

\[ f'(x) = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) - (x^5 + x^3 + x)(1)}{(x + 1)^2} \]

Шаг 6: Упрощаем выражение.

Раскроем скобки в числителе:

\( (5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) = 5x^4 · x + 5x^4 · 1 + 3x^2 · x + 3x^2 · 1 + 1 · x + 1 · 1 \)

\( = 5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 \)

Теперь подставим это обратно в числитель:

\( (5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1) - (x^5 + x^3 + x) \)

\( = 5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 - x^5 - x^3 - x \)

Сгруппируем подобные члены:

\( = (5x^5 - x^5) + 5x^4 + (3x^3 - x^3) + 3x^2 + (x - x) + 1 \)

\( = 4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1 \)

Шаг 7: Записываем окончательный ответ.

Теперь наш числитель выглядит гораздо проще. Собираем всё вместе:

\[ f'(x) = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x + 1)^2} \]

Ответ:

Производная функции \[\frac{x^5 + x^3 + x}{x + 1}\] равна \[\frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x + 1)^2}\]