Найти производную функции: 2) \[\frac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x - 1}\]

Привет! Давай найдём производную этой сложной функции. Не пугайся корня и квадрата, мы справимся!

Шаг 1: Определяем числитель и знаменатель.

Как и в прошлый раз, у нас есть дробь. Обозначим:

• Числитель \( u(x) = \sqrt{x} + x^2 + 1 \)
• Знаменатель \( v(x) = x - 1 \)

Шаг 2: Находим производные числителя и знаменателя.

Сначала разберёмся с числителем \( u(x) \). Нам нужно найти производную от \( \sqrt{x} + x^2 + 1 \). Помни, что \( \sqrt{x} = x^{1/2} \).

\( u'(x) = (x^{1/2} + x^2 + 1)' \)

Применяем правило производной степени \( nx^{n-1} \) и то, что производная от константы равна 0:

\( u'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 2x^{2-1} + 0 \)

\( u'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x \)

\( u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \)

Теперь найдём производную знаменателя \( v(x) \):

\( v'(x) = (x - 1)' \)

Производная от \( x \) равна 1, а производная от -1 равна 0:

\( v'(x) = 1 - 0 = 1 \)

Шаг 3: Применяем правило дифференцирования частного.

Формула выглядит так: \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \).

Подставляем наши найденные значения:

\[ f'(x) = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x)(x - 1) - (\sqrt{x} + x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} \]

Шаг 4: Упрощаем выражение.

Раскроем скобки в числителе:

\( (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x)(x - 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}} · x - \frac{1}{2\sqrt{x}} · 1 + 2x · x - 2x · 1 \)

\[ = \frac{x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x \]

Заметим, что \( \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} \).

\[ = \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x \]

Теперь вычтем вторую часть числителя:

\[ \left( \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x \right) - (\sqrt{x} + x^2 + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 - 2x - \sqrt{x} - x^2 - 1 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (2x^2 - x^2) + (\frac{\sqrt{x}}{2} - \sqrt{x}) - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x - 1 \]

\[ = x^2 - \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x - 1 \]

Чтобы избавиться от дробей в числителе, приведём всё к общему знаменателю \( 2\sqrt{x} \):

\[ = \frac{x^2 · 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} · \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2x · 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{1 · 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \]

\[ = \frac{2x^2··· \sqrt{x} - x - 1 - 4x··· \sqrt{x} - 2··· \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \]

Упростим \( x^2 · \sqrt{x} = x^{2.5} \) и \( x · \sqrt{x} = x^{1.5} \).

\[ = \frac{2x^{2.5} - x - 1 - 4x^{1.5} - 2x^{0.5}}{2\sqrt{x}} \]

Теперь всё это нужно подставить обратно в формулу для \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{\frac{2x^{2.5} - x - 1 - 4x^{1.5} - 2x^{0.5}}{2\sqrt{x}}}{(x - 1)^2} \]

Разделим дробь на дробь:

\[ f'(x) = \frac{2x^{2.5} - x - 1 - 4x^{1.5} - 2x^{0.5}}{2\sqrt{x}(x - 1)^2} \]

Перепишем в более привычном виде:

\[ f'(x) = \frac{2x^2··· \sqrt{x} - 4x··· \sqrt{x} - 2\sqrt{x} - x - 1}{2\sqrt{x}(x - 1)^2} \]

Ответ:

Производная функции \[\frac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x - 1}\] равна \[\frac{2x^2··· \sqrt{x} - 4x··· \sqrt{x} - 2\sqrt{x} - x - 1}{2\sqrt{x}(x - 1)^2}\]