Найти производную функции: 1) x² + 1/x³; 2) x³ + 1/x²; 3) 2√x - √x; 4) 3√x + 7√x.

Привет! Сейчас разберемся с производными. Это как найти скорость изменения функции в каждой точке. Поехали!

1) \( x^2 + \frac{1}{x^3} \)

• \( \frac{1}{x^3} = x^{-3} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем функцию в виде: \( x^2 + x^{-3} \)
2. Шаг 2: Берем производную: \( (x^2)' + (x^{-3})' \)
3. Шаг 3: Применяем правило: \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
4. Шаг 4: Получаем: \( 2x - 3x^{-4} = 2x - \frac{3}{x^4} \)

Ответ: \( 2x - \frac{3}{x^4} \)

2) \( x^3 + \frac{1}{x^2} \)

• \( \frac{1}{x^2} = x^{-2} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем функцию в виде: \( x^3 + x^{-2} \)
2. Шаг 2: Берем производную: \( (x^3)' + (x^{-2})' \)
3. Шаг 3: Применяем правило: \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
4. Шаг 4: Получаем: \( 3x^2 - 2x^{-3} = 3x^2 - \frac{2}{x^3} \)

Ответ: \( 3x^2 - \frac{2}{x^3} \)

3) \( 2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x} \)

• \( \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} \)
• \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем функцию в виде: \( 2x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{2}} \)
2. Шаг 2: Берем производную: \( 2(x^{\frac{1}{4}})' - (x^{\frac{1}{2}})' \)
3. Шаг 3: Применяем правило: \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
4. Шаг 4: Получаем: \( 2 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2x^{\frac{3}{4}}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Ответ: \( \frac{1}{2x^{\frac{3}{4}}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

4) \( 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x} \)

• \( \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}} \)
• \( \sqrt[14]{x} = x^{\frac{1}{14}} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем функцию в виде: \( 3x^{\frac{1}{6}} + 7x^{\frac{1}{14}} \)
2. Шаг 2: Берем производную: \( 3(x^{\frac{1}{6}})' + 7(x^{\frac{1}{14}})' \)
3. Шаг 3: Применяем правило: \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
4. Шаг 4: Получаем: \( 3 \cdot \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} + 7 \cdot \frac{1}{14} x^{-\frac{13}{14}} = \frac{1}{2x^{\frac{5}{6}}} + \frac{1}{2x^{\frac{13}{14}}} \)

Ответ: \( \frac{1}{2x^{\frac{5}{6}}} + \frac{1}{2x^{\frac{13}{14}}} \)

Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если есть еще вопросы, не стесняйся, спрашивай!