Найти производную функции: y = \(\frac{6x^2+5x-11}{x+11}\)

Решение:

Чтобы найти производную дроби, воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

В нашем случае \( u = 6x^2+5x-11 \) и \( v = x+11 \).

Найдём производные от \( u \) и \( v \):

• \( u' = (6x^2+5x-11)' = 12x + 5 \)
• \( v' = (x+11)' = 1 \)

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{(12x+5)(x+11) - (6x^2+5x-11)(1)}{(x+11)^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{12x^2 + 132x + 5x + 55 - 6x^2 - 5x + 11}{(x+11)^2} \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ y' = \frac{12x^2 - 6x^2 + 132x + 5x - 5x + 55 + 11}{(x+11)^2} \]

\[ y' = \frac{6x^2 + 132x + 66}{(x+11)^2} \]

Можно вынести общий множитель 6 из числителя:

\[ y' = \frac{6(x^2 + 22x + 11)}{(x+11)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{6x^2 + 132x + 66}{(x+11)^2} \) или \( y' = \frac{6(x^2 + 22x + 11)}{(x+11)^2} \).