Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Найти производную функции: 1) y=x+ln x; 2) y=5 lnx; 3) y=ln (ax³+c); 4) y=lg (5x²+1); 5) y=ln√2x; 6) y=ln² (x²-1); 7) y=2.5*+3e*;
Ответ:
Краткое пояснение: Чтобы найти производные заданных функций, применим правила дифференцирования и формулы производных основных функций.
-
1) y = x + ln x
- Производная суммы равна сумме производных: y' = (x)' + (ln x)'
- Производная x равна 1, а производная ln x равна 1/x: y' = 1 + 1/x
Ответ: y' = 1 + 1/x
-
2) y = 5 ln x
- Производная константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции: y' = 5 (ln x)'
- Производная ln x равна 1/x: y' = 5 * (1/x)
Ответ: y' = 5/x
-
3) y = ln(ax³ + c)
- Используем правило производной сложной функции: y' = (1/(ax³ + c)) * (ax³ + c)'
- Производная ax³ равна 3ax², а производная c равна 0: y' = (1/(ax³ + c)) * 3ax²
Ответ: y' = (3ax²)/(ax³ + c)
-
4) y = lg(5x² + 1)
- Используем правило производной сложной функции и формулу производной логарифма по основанию 10: y' = (1/((5x² + 1) * ln 10)) * (5x² + 1)'
- Производная 5x² равна 10x, а производная 1 равна 0: y' = (1/((5x² + 1) * ln 10)) * 10x
Ответ: y' = (10x)/((5x² + 1) * ln 10)
-
5) y = ln √2x
- Сначала упростим выражение: y = ln (2x)^(1/2) = (1/2) ln(2x)
- Теперь берем производную: y' = (1/2) * (1/(2x)) * (2x)'
- Производная 2x равна 2: y' = (1/2) * (1/(2x)) * 2
Ответ: y' = 1/(2x)
-
6) y = ln²(x² - 1)
- Используем правило производной сложной функции: y' = 2 ln(x² - 1) * (ln(x² - 1))'
- Далее: y' = 2 ln(x² - 1) * (1/(x² - 1)) * (x² - 1)'
- Производная x² равна 2x, а производная -1 равна 0: y' = 2 ln(x² - 1) * (1/(x² - 1)) * 2x
Ответ: y' = (4x ln(x² - 1))/(x² - 1)
-
7) y = 2 ⋅ 5ˣ + 3eˣ
- Производная суммы равна сумме производных: y' = (2 ⋅ 5ˣ)' + (3eˣ)'
- Производная 5ˣ равна 5ˣ ln 5, а производная eˣ равна eˣ: y' = 2 ⋅ 5ˣ ln 5 + 3eˣ
Ответ: y' = 2 ⋅ 5ˣ ln 5 + 3eˣ
