814 Найти производную функции: 1) x5 + x3 + x x+1

Решение

Для нахождения производной функции \[y = \frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}\] используем правило деления: \[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

В нашем случае: u = x⁵ + x³ + x, v = x + 1

Найдем производные u и v:

u' = 5x⁴ + 3x² + 1 v' = 1

Теперь подставим в формулу:

y' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) - (x^5 + x^3 + x)(1)}{(x+1)²}

Упростим числитель:

y' = \frac{5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 5x^4 + 3x^2 + 1 - x^5 - x^3 - x}{(x+1)²}

y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x+1)²}

Ответ: \(\frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 1}{(x+1)²}\)

Ответ: \(\frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 1}{(x+1)²}\)