Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора I. u = x² * y/4 - sqrt(x²+5z²); S: z² = x² + 4y² - 1; M(-2;0,5;1)

1. Вычислим градиент поля u: ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (2xy/4 - x/sqrt(x²+5z²), x²/4, -5z/sqrt(x²+5z²)).
2. Найдем значение градиента в точке M(-2; 0.5; 1): ∇u(M) = (2*(-2)*0.5/4 - (-2)/sqrt((-2)²+5*1²), (-2)²/4, -5*1/sqrt((-2)²+5*1²)) = (-1/2 + 2/3, 1, -5/3) = (1/6, 1, -5/3).
3. Найдем единичный вектор направления I. Из уравнения S: z² = x² + 4y² - 1, выразим z = sqrt(x² + 4y² - 1). Вектор касательной к поверхности в точке M: T = (∂x/∂t, ∂y/∂t, ∂z/∂t). Для простоты, найдем вектор нормали к поверхности S в точке M, который будет перпендикулярен касательной плоскости, а значит и вектору I. Нормаль N = (∂S/∂x, ∂S/∂y, ∂S/∂z) = (2x, 8y, -2z). В точке M: N(M) = (2*(-2), 8*0.5, -2*1) = (-4, 4, -2). Единичный вектор нормали: n = N/|N| = (-4, 4, -2) / sqrt(16+16+4) = (-4, 4, -2) / sqrt(36) = (-4, 4, -2) / 6 = (-2/3, 2/3, -1/3). Вектор I является направлением касательной, перпендикулярным нормали. Если предположить, что I является единичным вектором нормали, то производная будет равна скалярному произведению ∇u(M) · n = (1/6)*(-2/3) + 1*(2/3) + (-5/3)*(-1/3) = -2/18 + 2/3 + 5/9 = -1/9 + 6/9 + 5/9 = 10/9.