5) Найти промежутки, убывания функции. f(x) = x² + 9x² - 4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции f(x) = x³ + 9x² - 4.
Производная f'(x) = 3x² + 18x.
• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим критические точки.
3x² + 18x = 0 3x(x + 6) = 0 x = 0 или x = -6
• Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.
• Интервал (-∞, -6): Берём x = -7. f'(-7) = 3(-7)² + 18(-7) = 3(49) - 126 = 147 - 126 = 21 > 0. Функция возрастает.
• Интервал (-6, 0): Берём x = -1. f'(-1) = 3(-1)² + 18(-1) = 3 - 18 = -15 < 0. Функция убывает.
• Интервал (0, +∞): Берём x = 1. f'(1) = 3(1)² + 18(1) = 3 + 18 = 21 > 0. Функция возрастает.
• Шаг 4: Определяем промежутки убывания функции.
Функция убывает на интервале (-6, 0).

Ответ: Функция убывает на промежутке (-6, 0)