3. Найти ранг матрицы \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 4 & -3 \\ 5 & 1 & -2 & 7 \end{pmatrix}

Для нахождения ранга матрицы необходимо привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы.

Исходная матрица:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 4 & -3 \\ 5 & 1 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Умножим первую строку на -1:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & -3 \\ 5 & 1 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразования строк: R2 = R2 - 2R1, R3 = R3 - 5R1:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 7 & 8 & -7 \\ 0 & 11 & 8 & -3 \end{pmatrix}$$

Разделим вторую строку на 7:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{8}{7} & -1 \\ 0 & 11 & 8 & -3 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразование строк: R3 = R3 - 11R2:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{8}{7} & -1 \\ 0 & 0 & 8 - \frac{88}{7} & -3 + 11 \end{pmatrix}$$ $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{8}{7} & -1 \\ 0 & 0 & -\frac{32}{7} & 8 \end{pmatrix}$$

Умножим третью строку на -7/32:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{8}{7} & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{4} \end{pmatrix}$$

Получили ступенчатый вид матрицы. Количество ненулевых строк: 3.

Ответ: 3