Найти ранг матрицы А

Решение:

Для нахождения ранга матрицы приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Исходная матрица:

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 4 & 12 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \]

Поменяем местами первую и третью строки (R1 ↔ R3), чтобы на первой позиции стояла единица:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 4 & 12 & 4 \end{pmatrix} \]

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2 (R2 = R2 - 2*R1):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 - 2\cdot1 & 4 - 2\cdot2 & 2 - 2\cdot1 & 6 - 2\cdot3 & 2 - 2\cdot1 \\ 4 & 8 & 4 & 12 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 8 & 4 & 12 & 4 \end{pmatrix} \]

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 4 (R3 = R3 - 4*R1):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4\cdot1 & 8 - 4\cdot2 & 4 - 4\cdot1 & 12 - 4\cdot3 & 4 - 4\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Получили матрицу, в которой только одна ненулевая строка. Следовательно, ранг матрицы равен 1.

Ответ: Ранг матрицы А равен 1.