Найти ранг матрицы А

Решение:

Для нахождения ранга матрицы будем использовать метод Гаусса, приводя матрицу к ступенчатому виду.

Исходная матрица:

\[ A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 5 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & -10 & -4 & 1 \\ 7 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы первый элемент первой строки был меньше (или сделать его положительным, что также можно сделать). Сделаем первый элемент первой строки положительным, умножив её на -1.

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 6 & -2 & -10 & -4 & 1 \\ 7 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Сделаем нули под первым элементом первой строки. Для этого выполним следующие операции:

R2 = R2 - (6/5)R1

R3 = R3 - (7/5)R1

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -2 - (-\frac{6}{5}) & -10 - (-\frac{30}{5}) & -4 - (-\frac{12}{5}) & 1 - (-\frac{6}{5}) \\ 0 & 1 - (-\frac{7}{5}) & 5 - (-\frac{35}{5}) & 2 - (-\frac{14}{5}) & -8 - (-\frac{7}{5}) \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -4/5 & 0 & -8/5 & 11/5 \\ 0 & 12/5 & 10 & 24/5 & -27/5 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Умножим вторую строку на 5/4, а третью на 5/12 для упрощения.

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 11/4 \\ 0 & 1 & 10 \times 5/12 & 2 & -27/4 \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 11/4 \\ 0 & 1 & 25/6 & 2 & -27/4 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Теперь сделаем нули под вторым элементом второй строки. R3 = R3 + R2

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 11/4 \\ 0 & 0 & 25/6 & 0 & -27/4 + 11/4 \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 11/4 \\ 0 & 0 & 25/6 & 0 & -16/4 \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -5 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 11/4 \\ 0 & 0 & 25/6 & 0 & -4 \end{pmatrix} \]

Шаг 5: Третья строка не является нулевой, так как содержит ненулевые элементы. Следовательно, у нас есть 3 ненулевые строки.

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в её ступенчатом виде.

В данном случае, мы имеем 3 ненулевые строки.

Ответ: Ранг матрицы A равен 3.