Найти: Sдвод

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами медиан и биссектрис в треугольнике.

Дано:

• BM = MR,
• QT = TR,
• QM = 9,
• BT = 12

Найти: $$S_{B O Q}$$

Решение:

1. Так как BM = MR и QT = TR, то BM и QT - медианы треугольника BQR. Точка O - точка пересечения медиан, и медианы делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Следовательно, BO = (2/3)BT и OT = (1/3)BT. Так как BT = 12, то:

   BO = (2/3) × 12 = 8

   OT = (1/3) × 12 = 4

3. Так как QT - биссектриса, то она делит сторону BR на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, BQ/QR = BT/TR. Пусть BQ = x.

4. Так как QT = TR, то QR = 2QT. Поскольку QT - медиана, то QR = QT = TR. Таким образом, BQ/QR = BQ/2QT.

5. Тогда x / (2QT) = 12 / QT, следовательно, x = 24. Итак, BQ = 24.

6. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований. Рассмотрим треугольники BOQ и TOQ. У них общая высота, проведенная из вершины Q. Следовательно, S(BOQ) / S(TOQ) = BO / OT = 8 / 4 = 2.

7. Также рассмотрим треугольники BTQ и QTR. Так как QT - медиана треугольника BQR, то S(BTQ) = S(QTR).

8. Треугольники BOQ и TOQ вместе составляют треугольник BTQ. Пусть S(TOQ) = y, тогда S(BOQ) = 2y. S(BTQ) = S(BOQ) + S(TOQ) = 2y + y = 3y.

9. Теперь рассмотрим треугольник BQM. Так как BM - медиана, то S(BQM) = (1/2)S(BQR).

10. Площадь треугольника BQR можно выразить как S(BQR) = (1/2) * BQ * BR * sin(∠B). Также можно выразить площадь через основание и высоту. Так как QT - медиана, то S(BQT) = S(QTR) = (1/2)S(BQR).

11. Зная, что QM = 9, можем рассмотреть треугольник BOQ. Выразим площадь треугольника BOQ через основание BO и высоту, проведенную из Q. Пусть h - высота из Q на BO. Тогда S(BOQ) = (1/2) * BO * h.

12. Известно, что S(BOQ) = 2y и S(BTQ) = 3y. Также известно, что S(BTQ) = (1/2) * BQ * BT * sin(∠B).

Однако, без дополнительных данных или соотношений между элементами треугольника (например, конкретного значения угла, высоты или площади всего треугольника) невозможно однозначно определить площадь треугольника BOQ. Для нахождения площади S△BOQ необходимо больше информации.

Допустим, площадь треугольника BQR равна S. Тогда S(BQT) = S/2. S(BOQ) = (2/3)S(BQT) = (2/3)(S/2) = S/3.

Ответ не может быть найден без дополнительных данных.

Ответ: Недостаточно данных