71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А. 3 -1 2 A=0 3 0 0 2 1

Для решения задачи необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы A.

Матрица A имеет вид:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Сначала найдем собственные значения матрицы А. Для этого нужно решить характеристическое уравнение:

$$det(A - \lambda E) = 0$$

где λ – собственное значение, Е – единичная матрица.

Запишем матрицу (A - λE):

$$A - \lambda E = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & -1 & 2 \\ 0 & 3 - \lambda & 0 \\ 0 & 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$

Вычислим определитель матрицы:

$$det(A - \lambda E) = (3 - \lambda) \cdot det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (3 - \lambda)((3 - \lambda)(1 - \lambda) - 0) = (3 - \lambda)^2(1 - \lambda)$$

Приравняем определитель к нулю:

$$(3 - \lambda)^2(1 - \lambda) = 0$$

Получаем собственные значения:

$$\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 1$$

Собственные значения: 3 (кратности 2) и 1.

Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения.

1) Для λ = 3:

Решаем систему уравнений:

$$(A - 3E)v = 0$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Получаем систему уравнений:

$$-y + 2z = 0 \\ 2y - 2z = 0$$

Из первого уравнения: y = 2z.

Подставим во второе уравнение: 2(2z) - 2z = 0 => 4z - 2z = 2z = 0 => z = 0.

Следовательно, y = 0.

x - любое.

Собственный вектор имеет вид: v = (x, 0, 0) = x(1, 0, 0).

Можно взять собственный вектор v_1 = (1, 0, 0).

2) Для λ = 1:

Решаем систему уравнений:

$$(A - 1E)v = 0$$ $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Получаем систему уравнений:

$$2x - y + 2z = 0 \\ 2y = 0 \\ 2y = 0$$

Из второго уравнения: y = 0.

Тогда 2x + 2z = 0 => x = -z.

Собственный вектор имеет вид: v = (x, 0, -x) = x(1, 0, -1).

Можно взять собственный вектор v_3 = (1, 0, -1).

Для собственного значения λ = 3 (кратности 2) получили только один собственный вектор (1,0,0).

Ответ: Собственные значения: λ_1 = 3, λ_2 = 3, λ_3 = 1. Собственные векторы: v_1 = (1, 0, 0), v_3 = (1, 0, -1).