Найти стороны параллелограмма, если периметр его равен 36 см. На рисунке параллелограмм QTRM, точка N лежит на стороне QR, проведена диагональ NT; NT — биссектриса угла QTM; RM = 1,5 RN.

Обозначим стороны параллелограмма: RM = QT = a, а QR = TM = b.

1. Из периметра: 2(a + b) = 36, поэтому a + b = 18.
2. Поскольку QT ∥ RM, а NT — биссектриса угла QTM, получаем ∠QTN = ∠NTM = ∠MNT. Следовательно, в треугольнике TMN равны углы при T и N, значит, TM = MN.
3. Так как TM = QR, имеем QR = MN. Тогда RN = QR − QN, а из равенства MN = QR и расположения точек на стороне следует RN = QN + MN − QN; для связи с условием используем параллельность QR ∥ TM: из углов при диагонали следует также, что треугольник QTN равнобедренный и QN = QT.
4. Значит, RN = QR − QT = b − a. По условию a = 1,5RN, откуда RN = 2a/3. Поэтому b − a = 2a/3, то есть b = 5a/3.
5. Подставим в a + b = 18: a + 5a/3 = 18, откуда 8a/3 = 18 и a = 6,75 см. Тогда b = 11,25 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 6,75 см и 11,25 см.