Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) q = −1/2, b₁ = 1/8; 2) q = 1/3, b₅ = 1/81; 3) q = −1/3, b₁ = 9; 4) q = −1/2, b₄ = 1/8.

Для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используем формулу \(S=\frac{b_1}{1-q}\), если \(|q|<1\).

1. \(q=-\frac{1}{2}\), \(b_1=\frac{1}{8}\).

   \[S=\frac{\frac{1}{8}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{12}.\]

2. \(q=\frac{1}{3}\), \(b_5=\frac{1}{81}\).

   Найдём первый член:

   \[b_5=b_1q^4,\qquad b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac{1}{81}}{\left(\frac{1}{3}\right)^4}=1.\]

   Тогда

   \[S=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.\]

3. \(q=-\frac{1}{3}\), \(b_1=9\).

   \[S=\frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{9}{\frac{4}{3}}=\frac{27}{4}.\]

4. \(q=-\frac{1}{2}\), \(b_4=\frac{1}{8}\).

   Найдём первый член:

   \[b_4=b_1q^3,\qquad b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac{1}{8}}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3}=-1.\]

   Тогда

   \[S=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=-\frac{2}{3}.\]

Ответ: 1) \(\frac{1}{12}\); 2) \(\frac{3}{2}\); 3) \(\frac{27}{4}\); 4) \(-\frac{2}{3}\).