Найти сумму целых решений неравенства \(\frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)(x+3)} \le 0\).

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)(x+3)} \le 0\) используем метод интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( (x-4)(x+2) = 0 \) => \( x = 4 \) или \( x = -2 \)
• Знаменатель: \( (x-2)(x+3) = 0 \) => \( x = 2 \) или \( x = -3 \)
2. Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на 5 интервалов: \((-\infty, -3)\), \((-3, -2]\), \([-2, 2)\), \((2, 4]\), \((4, \infty)\). Обратите внимание, что корни знаменателя (x = -3 и x = 2) не включаются в решение, так как на них знаменатель обращается в ноль. Корни числителя (x = -2 и x = 4) включаются, так как неравенство нестрогое (\(\le\)).
3. Проверим знак выражения \(f(x) = \frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)(x+3)}\) на каждом интервале:
• При \( x < -3 \), например \( x = -4 \): \( f(-4) = \frac{(-4-4)(-4+2)}{(-4-2)(-4+3)} = \frac{(-8)(-2)}{(-6)(-1)} = \frac{16}{6} > 0 \).
• При \( -3 < x \le -2 \), например \( x = -2.5 \): \( f(-2.5) = \frac{(-2.5-4)(-2.5+2)}{(-2.5-2)(-2.5+3)} = \frac{(-6.5)(-0.5)}{(-4.5)(0.5)} = \frac{3.25}{-2.25} < 0 \).
• При \( -2 \le x < 2 \), например \( x = 0 \): \( f(0) = \frac{(0-4)(0+2)}{(0-2)(0+3)} = \frac{(-4)(2)}{(-2)(3)} = \frac{-8}{-6} > 0 \).
• При \( 2 < x \le 4 \), например \( x = 3 \): \( f(3) = \frac{(3-4)(3+2)}{(3-2)(3+3)} = \frac{(-1)(5)}{(1)(6)} = \frac{-5}{6} < 0 \).
• При \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( f(5) = \frac{(5-4)(5+2)}{(5-2)(5+3)} = \frac{(1)(7)}{(3)(8)} = \frac{7}{24} > 0 \).
4. Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-3, -2] \cup (2, 4] \).
5. Найдем сумму целых решений. Целые числа в интервале \( (-3, -2] \) это \( -2 \). Целые числа в интервале \( (2, 4] \) это \( 3, 4 \).
6. Сумма целых решений: \( -2 + 3 + 4 = 5 \).

Ответ: 5