Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
6. Найти tga, sin2a, cos2a, если cos a = \frac{20}{29} и \frac{\pi}{2} < α < π; 7. Упростить выражение ctg (-α) +1 - \frac{cos(-a) - sin(-a)}{sin(-a)} 8. Решить уравнение 2sin^2x + sinx - 3 = 0;
Ответ:
Задание 6
Краткое пояснение: Сначала определим sin α, затем вычислим tg α, sin2α и cos2α, используя известные тригонометрические формулы.
- Так как \(\frac{\pi}{2} < α < π\), то α находится во второй четверти, где sin α > 0. Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 α + cos^2 α = 1\] Подставляем известное значение cos α: \[sin^2 α + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = 1\] \[sin^2 α = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841}\] \[sin α = \sqrt{\frac{441}{841}} = \frac{21}{29}\] (выбираем положительное значение, так как α во второй четверти)
- Вычисляем tg α: \[tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{21}{29}}{\frac{20}{29}} = \frac{21}{20}\] Так как α во второй четверти, tg α отрицательный: \(tg α = -\frac{21}{20}\)
- Вычисляем sin2α: \[sin2α = 2sin α cos α = 2 \cdot \frac{21}{29} \cdot \frac{20}{29} = \frac{840}{841}\]
- Вычисляем cos2α: \[cos2α = cos^2 α - sin^2 α = \left(\frac{20}{29}\right)^2 - \left(\frac{21}{29}\right)^2 = \frac{400}{841} - \frac{441}{841} = -\frac{41}{841}\]
Ответ: \(tg α = -\frac{21}{20}\), \(sin2α = \frac{840}{841}\), \(cos2α = -\frac{41}{841}\)
Задание 7
Краткое пояснение: Упростим данное выражение, используя свойства котангенса и синуса/косинуса отрицательного угла.
- Вспомним свойства тригонометрических функций отрицательного угла: \[cos(-α) = cos α\] \[sin(-α) = -sin α\] \[ctg(-α) = -ctg α\]
- Подставим эти свойства в выражение: \[-ctg α + 1 - \frac{cos α - (-sin α)}{-sin α} = -ctg α + 1 + \frac{cos α + sin α}{sin α} = -ctg α + 1 + \frac{cos α}{sin α} + 1 = -ctg α + ctg α + 2 = 2\]
Ответ: 2
Задание 8
Краткое пояснение: Решим тригонометрическое уравнение, используя замену переменной.
- Заменим sin x = t, тогда уравнение примет вид: \[2t^2 + t - 3 = 0\]
- Решим квадратное уравнение относительно t: Дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\) Корни: \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\]
- Сделаем обратную замену: а) sin x = 1 \[x = \frac{\pi}{2} + 2πk, k ∈ Z\] б) sin x = -\frac{3}{2} Так как \(|sin x| ≤ 1\), уравнение не имеет решений.
Ответ: \[x = \frac{\pi}{2} + 2πk, k ∈ Z\]
