2. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках 1) y= x³-3x; 2) y= x²+6x²+9x; 3) y= x³-3x²+4; 4)y = x³/3 +x²-3x+; 5) y=x²-2x²-3; 6) y =15x4-15x²; 7) y=3x⁵- 5x²+4; 8) y=3x⁵-5x²+2.

Привет! Разберем, как найти точки экстремума и значения функции в этих точках. Логика такая: нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение. Корни этого уравнения будут точками, где функция может иметь экстремум. Затем нужно проверить, меняет ли знак производная в этих точках, чтобы убедиться, что это действительно экстремум.

1) y = x³ - 3x

• Производная: \( y' = 3x^2 - 3 \)
• Приравниваем к нулю: \( 3x^2 - 3 = 0 \)
• Решаем уравнение: \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \)

Точки экстремума: x = -1 и x = 1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2
• y(1) = (1)³ - 3(1) = 1 - 3 = -2

Точки экстремума: (-1, 2) и (1, -2)

2) y = x³ + 6x² + 9x

• Производная: \( y' = 3x^2 + 12x + 9 \)
• Приравниваем к нулю: \( 3x^2 + 12x + 9 = 0 \)
• Решаем уравнение: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \), \( (x + 1)(x + 3) = 0 \), \( x = -1, -3 \)

Точки экстремума: x = -1 и x = -3. Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(-1) = (-1)³ + 6(-1)² + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4
• y(-3) = (-3)³ + 6(-3)² + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0

Точки экстремума: (-1, -4) и (-3, 0)

3) y = x³ - 3x² + 4

• Производная: \( y' = 3x^2 - 6x \)
• Приравниваем к нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \)
• Решаем уравнение: \( 3x(x - 2) = 0 \), \( x = 0, 2 \)

Точки экстремума: x = 0 и x = 2. Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(0) = (0)³ - 3(0)² + 4 = 4
• y(2) = (2)³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Точки экстремума: (0, 4) и (2, 0)

4) y = x³/3 + x² - 3x + 5/3

• Производная: \( y' = x^2 + 2x - 3 \)
• Приравниваем к нулю: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
• Решаем уравнение: \( (x + 3)(x - 1) = 0 \), \( x = -3, 1 \)

Точки экстремума: x = -3 и x = 1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(-3) = (-3)³/3 + (-3)² - 3(-3) + 5/3 = -9 + 9 + 9 + 5/3 = 9 + 5/3 = 32/3
• y(1) = (1)³/3 + (1)² - 3(1) + 5/3 = 1/3 + 1 - 3 + 5/3 = 2 - 3 = -1

Точки экстремума: (-3, 32/3) и (1, -1)

5) y = x⁴ - 2x² - 3

• Производная: \( y' = 4x^3 - 4x \)
• Приравниваем к нулю: \( 4x^3 - 4x = 0 \)
• Решаем уравнение: \( 4x(x^2 - 1) = 0 \), \( x = 0, \pm 1 \)

Точки экстремума: x = -1, 0, 1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
• y(0) = (0)⁴ - 2(0)² - 3 = -3
• y(1) = (1)⁴ - 2(1)² - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

Точки экстремума: (-1, -4), (0, -3) и (1, -4)

6) y = 15x⁴ - 15x²

• Производная: \( y' = 60x^3 - 30x \)
• Приравниваем к нулю: \( 60x^3 - 30x = 0 \)
• Решаем уравнение: \( 30x(2x^2 - 1) = 0 \), \( x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Точки экстремума: x = 0, \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) и \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Теперь найдем значения функции в этих точках:

• \(y(0) = 15(0)^4 - 15(0)^2 = 0\)
• \(y(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 15(\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - 15(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{15}{4} - \frac{15}{2} = -\frac{15}{4}\)
• \(y(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 15(-\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - 15(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{15}{4} - \frac{15}{2} = -\frac{15}{4}\)

Точки экстремума: \((0, 0)\), \((\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{15}{4})\) и \((-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{15}{4})\)

7) y = 3x⁵ - 5x⁴ + 4

• Производная: \( y' = 15x^4 - 20x^3 \)
• Приравниваем к нулю: \( 15x^4 - 20x^3 = 0 \)
• Решаем уравнение: \( 5x^3(3x - 4) = 0 \), \( x = 0, \frac{4}{3} \)

Точки экстремума: x = 0 и \( x = \frac{4}{3} \). Теперь найдем значения функции в этих точках:

• \(y(0) = 3(0)^5 - 5(0)^4 + 4 = 4\)
• \(y(\frac{4}{3}) = 3(\frac{4}{3})^5 - 5(\frac{4}{3})^4 + 4 = \frac{3 \cdot 1024}{243} - \frac{5 \cdot 256}{81} + 4 = \frac{1024}{81} - \frac{1280}{81} + \frac{324}{81} = \frac{68}{81}\)

Точки экстремума: \((0, 4)\) и \((\frac{4}{3}, \frac{68}{81})\)

8) y = 3x⁵ - 5x³ + 2

• Производная: \( y' = 15x^4 - 15x^2 \)
• Приравниваем к нулю: \( 15x^4 - 15x^2 = 0 \)
• Решаем уравнение: \( 15x^2(x^2 - 1) = 0 \), \( x = 0, \pm 1 \)

Точки экстремума: x = -1, 0, 1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

• \(y(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 2 = -3 + 5 + 2 = 4\)
• \(y(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 2 = 2\)
• \(y(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 2 = 3 - 5 + 2 = 0\)

Точки экстремума: (-1, 4), (0, 2) и (1, 0)