Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знака постоянства.

Решение:

Дана функция \( y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Точки пересечения с осью OX (нули функции):

Чтобы найти точки пересечения с осью OX, нужно приравнять функцию к нулю:

\[ \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^2 - 12x + 10 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 144 - 40 = 104 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 6 \pm \sqrt{26} \]

\( x_1 = 6 - \sqrt{26} \approx 6 - 5.1 = 0.9 \)

\( x_2 = 6 + \sqrt{26} \approx 6 + 5.1 = 11.1 \)

2. Точка пересечения с осью OY:

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, нужно подставить \( x = 0 \) в уравнение функции:

\[ y = \frac{1}{2}(0)^2 - 6(0) + 5 = 5 \]

Точка пересечения с осью OY: \( (0, 5) \).

3. Интервалы знака постоянства (где функция положительна, а где отрицательна):

Парабола \( y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \) имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент \( a = \frac{1}{2} > 0 \)).

• Функция положительна ( \( y > 0 \) ) вне корней: \( x \in (-\infty; 6 - \sqrt{26}) \cup (6 + \sqrt{26}; +\infty) \).
• Функция отрицательна ( \( y < 0 \) ) между корнями: \( x \in (6 - \sqrt{26}; 6 + \sqrt{26}) \).

Ответ: Точки пересечения с OX: \( (6 - \sqrt{26}; 0) \) и \( (6 + \sqrt{26}; 0) \). Точка пересечения с OY: \( (0; 5) \). Функция положительна при \( x \in (-\infty; 6 - \sqrt{26}) \cup (6 + \sqrt{26}; +\infty) \), отрицательна при \( x \in (6 - \sqrt{26}; 6 + \sqrt{26}) \).