Найти точку минимума функции: у = х³ - 12x² +36x+23.

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = x^3 - 12x^2 + 36x + 23 \).
   \( y' = (x^3 - 12x^2 + 36x + 23)' = 3x^2 - 24x + 36 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 3x^2 - 24x + 36 = 0 \]
3. Разделим уравнение на 3:
   \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]
5. Найдем корни:
   \[ x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
   \[ x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
6. Определим знак производной на интервалах.
7. Возьмем тестовую точку \( x = 0 \) (интервал \( (-\infty, 2) \)): \( y'(0) = 3(0)^2 - 24(0) + 36 = 36 \) (производная положительна, функция возрастает).
8. Возьмем тестовую точку \( x = 4 \) (интервал \( (2, 6) \)): \( y'(4) = 3(4)^2 - 24(4) + 36 = 3 \cdot 16 - 96 + 36 = 48 - 96 + 36 = -12 \) (производная отрицательна, функция убывает).
9. Возьмем тестовую точку \( x = 7 \) (интервал \( (6, \infty) \)): \( y'(7) = 3(7)^2 - 24(7) + 36 = 3 \cdot 49 - 168 + 36 = 147 - 168 + 36 = 15 \) (производная положительна, функция возрастает).
10. Точка \( x = 2 \) является точкой локального максимума, так как производная меняет знак с \( + \) на \( - \).
11. Точка \( x = 6 \) является точкой локального минимума, так как производная меняет знак с \( - \) на \( + \).

Ответ: точка минимума функции — x = 6.