Найти углы трапеции ABCD, если AD ∥ BC, AB = BC = CD, AC ⟂ CD.

Обозначим \(\angle BAC=\angle ACB=x\). Эти углы равны, так как \(AB=BC\), поэтому треугольник ABC равнобедренный.

Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle CAD=\angle ACB=x\).

В прямоугольном треугольнике ACD угол \(ACD=90^\circ\), поэтому \(\angle ADC=90^\circ-x\).

Из равенства \(AB=BC\) получаем \(AC=2BC\cos x\). В треугольнике ACD:

\[CD=AC\sin x=2BC\sin x\cos x=BC\sin 2x.\]

Так как \(CD=BC\), то \(\sin 2x=1\), следовательно, \(x=45^\circ\).

Тогда:

• \(\angle A=\angle BAC+\angle CAD=45^\circ+45^\circ=90^\circ\);
• \(\angle D=90^\circ-45^\circ=45^\circ\);
• \(\angle C=\angle BCA+\angle ACD=45^\circ+90^\circ=135^\circ\);
• \(\angle B=180^\circ-\angle A=90^\circ\).

Ответ: \(\angle A=90^\circ,\ \angle B=90^\circ,\ \angle C=135^\circ,\ \angle D=45^\circ\).