Найти угол ф между плоскостями треугольника ABC и прямоугольника ABMN, если AB = 5 дм, BC = 12 дм, AC = 13 дм, BM = 15 дм, MC = 9дм.

Проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным. По теореме Пифагора: $$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$. $$13^2 = 169$$. Так как $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$, то треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине B.

Угол между плоскостями треугольника ABC и прямоугольника ABMN - это угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей (прямой AB), проведенными в каждой из плоскостей. В плоскости ABC таким перпендикуляром является BC. В плоскости ABMN таким перпендикуляром является BM.

Угол между плоскостями равен углу между векторами $$\vec{BC}$$ и $$\vec{BM}$$, который равен углу между прямыми BC и BM. Так как BC перпендикулярен AB, а BM перпендикулярен AB (по определению прямоугольника), то угол между плоскостями равен углу между BC и BM. Угол между BC и BM равен 90 градусов, так как они перпендикулярны к одной прямой AB и лежат в разных плоскостях, исходящих из одной точки B.