Найти угол ∠OCD, если известно, что О — центр окружности, а угол ∠AOB = 50°, где точка A лежит на окружности, а точка B — вне окружности. Также, отрезок AB является касательной к окружности.

Решение:

1. Так как AB — касательная к окружности, то радиус OC, проведённый в точку касания C, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OCB = 90^{\circ} \).
2. Угол ∠AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Величина дуги AB равна величине центрального угла, т.е. дуга AB = \( 50^{\circ} \).
3. Угол ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Его величина равна половине дуги, на которую он опирается: \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ} \).
4. В треугольнике OCB, угол ∠OCD является частью угла ∠OCB. Мы знаем, что \( \angle OCB = 90^{\circ} \) и \( \angle ACB = 25^{\circ} \).
5. Следовательно, \( \angle OCD = \angle OCB - \angle ACB = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \).

Ответ: \( \angle OCD = 65^{\circ} \).