5. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность того, что событие наступит определенное количество раз в серии независимых испытаний.

Формула Бернулли:

$$ P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)} $$

где:

• $$P(k)$$ - вероятность того, что событие наступит ровно k раз;
• $$C_n^k$$ - количество сочетаний из n по k (биномиальный коэффициент);
• $$n$$ - общее количество испытаний;
• $$k$$ - количество успешных испытаний (количество раз, когда событие наступило);
• $$p$$ - вероятность наступления события в одном испытании.

В данной задаче:

• $$n = 400$$ (количество испытаний);
• $$k = 104$$ (количество раз, когда событие наступило);
• $$p = 0.2$$ (вероятность наступления события в каждом испытании).

Сначала найдем биномиальный коэффициент $$C_n^k$$:

$$ C_{400}^{104} = \frac{400!}{104!(400-104)!} = \frac{400!}{104!396!} $$

Это очень большое число, и его трудно вычислить напрямую. В таких случаях, когда n велико, а p относительно мало, можно использовать приближение Пуассона или нормальное приближение.

Применим нормальное приближение:

1. Вычислим математическое ожидание (среднее значение):

$$\mu = n * p = 400 * 0.2 = 80$$

2. Вычислим дисперсию:

$$\sigma^2 = n * p * (1 - p) = 400 * 0.2 * 0.8 = 64$$

3. Вычислим стандартное отклонение:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{64} = 8$$

4. Используем формулу нормального приближения:

$$ P(k) \approx \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(k - \mu)^2}{2\sigma^2}} $$

Подставим значения:

$$ P(104) \approx \frac{1}{8 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(104 - 80)^2}{2 * 64}} = \frac{1}{8 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{24^2}{128}} = \frac{1}{8 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{576}{128}} = \frac{1}{8 \sqrt{2\pi}} e^{-4.5} $$

Вычислим значение:

$$ P(104) \approx \frac{1}{8 * \sqrt{2 * 3.1415}} * e^{-4.5} \approx \frac{1}{8 * 2.5066} * 0.0111 \approx \frac{1}{20.0528} * 0.0111 \approx 0.0498 * 0.0111 \approx 0.000553 $$

В данном случае лучше использовать интегральную теорему Лапласа, так как значение k значительно отличается от среднего значения:

Коррекция Лапласа:

$$ X = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{104 - 400 \cdot 0.2}{\sqrt{400 \cdot 0.2 \cdot 0.8}} = \frac{104 - 80}{\sqrt{64}} = \frac{24}{8} = 3$$

Функция Лапласа:

$$ P(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{X^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{3^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-4.5}$$

По таблице Лапласа $$\Phi(3) = 0.49865$$

$$ P = \frac{1}{\sigma} \cdot \Phi(X) = \frac{1}{8} \cdot 0.49865 = 0.06233$$

Теперь, найдем значение P(104) с помощью локальной теоремы Лапласа:

$$ P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x) $$

где x = $$\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$$, $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$

Из предыдущих расчетов x=3, $$\sqrt{npq} = \sqrt{400 \cdot 0.2 \cdot 0.8} = \sqrt{64} = 8 $$

$$\varphi(3) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{3^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-4.5} \approx 0.00443 $$

$$ P_{400}(104) \approx \frac{1}{8} \cdot 0.00443 = 0.000554 $$

Окончательно:

Вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2, составляет приблизительно 0.000554.

Ответ: 0.000554